10.3.1. Принцип суперпозиции

Обратимся теперь к общему определению линейных динамических систем [44].

Как отмечено в п. 1.1. выход y{t) динамической системы определяется функциональным уравнением

где х{іо) -начальное состояние системы,    - входное воз

действие, заданное на интервале [^о, t], ^ > доопределение [44]. Система называется линейной, если она:

•    Линейна относительно всех начальных состояний, т.е. для всех to, t > to, x{to) = Xo, W[to, t], Що, t], к выполнено:

т.е. при любом начальном состоянии разность между реакциями на произвольные входные воздействия равна реакции на разность этих же воздействий, полученную при нулевом начальном состояниии.

•    Линейна при нулевом входе, т.е. для всех t, to, x'[to) = x'o, x''[to) = ж", к выполнено:

т.е. при нулевом входе реакция на линейную комбинацию начальных состояний равна такой же линейной комбинации реакций при каждом начальном состоянии в отдельности. ®

Из свойства (10.10), в частности при к = \, ѵ = О, следует

откуда

Другими словами, справедливо свойство разделения - движение линейной системы при любых начальных условиях и

любом входном воздействии можно получить как сумму переходной и вынужденной составляющих. Переходная составляющая S{xq] О) есть процесс, полученный при нулевом входе и заданных начальных условиях Жо, а вынужденная составляющая (5(0;(]) есть реакция системы на заданное входное воздействие при нулевых начальных условиях.

Свойство (10.11) приводит к тому, что характер собственных движений системы не зависит от размеров области пространства состояний, в которой эти движения рассматриваются. Более точно, полагая в (10.11) x'q = Xq, ж" = О, получим для всех к, Жо

Следовательно, вид фазовых портретов линейных стационарных систем не зависит от размера окрестности начала координат - эти фазовые портреты можно преобразовать друг к другу изменением масштаба.

Совокупности этих свойств (либо одного из них) лишены нелинейные системы. Это приводит к эффектам, некоторые из которых рассмотрены ниже. Основное внимание уделим собственным движениям в нелинейных системах - характер вынужденных процессов оказывается еще более сложным и разнообразным.