10.3.2. Сепаратрисные поверхности

Как отмечено выше, у нелинейных систем может быть различный характер собственных движений в разных областях пространства состояний. Поэтому при исследовании таких систем недостаточно, вообще говоря, рассматривать лишь некоторую окрестность состояния равновесия - исследование должно охватывать все возможные области пространства состояний. Естественно, это сильно усложняет анализ. При использовании численных методов исследования (например, моделирования на ЭВМ) количество вычислений оказывается значительно выше, чем для линейных систем. Это показывает необходимость развития аналитических методов исследования.

В качестве иллюстрации рассмотрим следующий простой пример. Пусть система описывается уравнением

Система имеет два состояния равновесия: ж* = О и = 1. Нетрудно убедиться, что при Жо < 1 знаки x{t) и x{t) противоположны и решение будет стремиться к точке ж*, x{t) —>-0. При Жо > 1 выполнено ж(^) > О и решение расходится, x{t) —>■ оо (причем значение x{t) становится неограниченно большим за конечное время). Таким образом, ж* - устойчивое состояние равновесия, а ж^ - неустойчивое. Точка ж = 1 разделяет пространство состояний Л:’ = на области с устойчивым и неустойчивым характером поведения.

Определение [79]. Поверхность, разделяюш;ая пространство состояний системы на области с разными типами фазовых траекторий (т.е. видов собственных движений) называется сепаратрисной поверхностью (при п = 2 разделяюш;ая поверхность является некоторой кривой, называемой сепаратрисой). □

Более точное определение - сепаратрисная поверхность есть поверхность, являюш;аяся либо элементом притяжения, либо элементом отталкивания для всех близких траекторий.

Иногда (как в приведенном примере) сепаратрисой является некоторая фазовая траектория. Возможно также, что сепаратрисы образуются из участков различных траекторий (рис. 10.2, а). В 11.6. рассмотрены системы, для которых движение происходит по сепаратрисной поверхности, но само понятие соответствуюш;его решения уравнений нуждается в дополнительном определении.