10.3.3.     Предельные циклы. Автоколебания

Для некоторых систем могут, как известно, суш;ествовать периодические процессы с периодом Т такие, что x{t) = x{t + T) (более подробное определение периодических процессов дано выше в 5.1. и [79, 93]). Соответствуюш;ие им фазовые траектории представляют собой замкнутые кривые. Для стационарных линейных систем периодические собственные движения имеют место, если характеристический многочлен A(s) = О при некотором s = jQ. (Период Т = 2тг/П.) Такой вид движений свойствен, например, колебательным консервативным звеньям.

Важно отметить, что колебания, возникаюш;ие у линейных систем, являются негрубыми в том смысле, что сколь угодно малое отклонение параметров системы от исходных может

привести к исчезповепию периодических движений. Кроме того, малое изменение начального состояния системы приводит к пропорциональному изменению амплитуды колебаний, как это видно из формулы Коши (6.8) для решений линейных систем. У нелинейных систем возможно суш;ествование грубых периодических процессов, характеристики которых не меняются (качественно) при изменении в определенных пределах параметров или начальных условий. Рассмотрим это явление подробнее.

Пусть автономная система описывается уравнением

Определение [79]. Периодическое решение x{t), а также со- ответствуюш;ая ему траектория G, считается изолированным периодическим решением и называется предельным циклом, если суш;ествует такое /> > О, что какова бы ни была точка ж' G Д', находяш;аяся от кривой G на положительном расстоянии рд{х'), ^ меньшем, чем р, О < рд{х') < р] проходяш;ее через нее решение уравнения (10.12) не является периодическим. □

Это означает, что при п = 2 на фазовой плоскости вблизи предельных циклов не проходит других замкнутых траекторий решений уравнения (10.12). Отметим, что у линейных консервативных систем замкнутые траектории лежат ’’всюду плотно” - на сколь угодно малом расстоянии от данной замкнутой кривой находятся другие замкнутые траектории.

Как для внешних, так и для внутренних по отношению к предельному циклу Q ® имеются две взаимно исключаюш;ие возможности поведения вблизи Q : все внутренние траектории, начинаюш;иеся вблизи Q ’’наматываются” на Q, как спирали либо при ^ оо, либо при t —>■ — оо. То же самое относится и ко внешним траекториям [79].

Если все внутренние и внешние траектории, начинаюш;и- еся вблизи О ’’наматываются” на Q при ^ оо, то предельный цикл называется устойчивым. Соответственно, возможны (вполне) неустойчивые и полуустойчивые предельные циклы.

Определение (А.А. Андронов, см. [79]). Устойчивый предельный цикл называется автоколебанием. □

Таким образом, автоколебания представляют собой процесс, характерный исключительно для нелинейных систем. Практически можно считать, что такой процесс имеет место, когда состояние равновесия системы неустойчиво ”в малом”, но система обладает диссипативностью, так что процессы при ’’больших” начальных отклонениях затухают. В качестве примера на рис. 10.2, б показан фазовый портрет автоколебательной системы -Ь 2і;Тх + х = ки, и = csigni, (Т = 0.1 с, ^ = 0.25), являюш;ейся упрош;енной моделью генератора колебаний [79, 94]. Эта система исследуется ниже в п.п. 11.2.2. 11.3. Заметим, что предельный цикл является и сепаратрисой.

Нелинейным системам свойственны не только периодические собственные процессы. Возможны также квазипериоди- ческие режимы, соответствуюш;ие колебательным движениям с несоизмеримыми частотами. Более того, возможно возникновение хаотических колебательных процессов, имеюш;их непрерывный спектр частот и, следовательно, обладаюш;их свойствами, характерными для случайных процессов. Уста-

новившиеся хаотические процессы отличаются от предельных циклов и описываются притягивающими множествами - аттракторами. Сведения о хаотических системах и методах их исследования приведены в п. 13.3.

Наиболее общее из известных определений колебательных процессов, включающее как периодические, так и нерегулярные, хаотические, предложено В.А. Якубовичем в 1973 г. (см. [55, 56, 76, 93])

Определение . Решение x[t), a{t) системы (10.8), (10.9) называется колебательным (или колебательным по Якубовичу) по выходу сг, если выполнены следующие условия: 1) ||ж(^)|| < const; 2) Число изменений знака функции a{t) бесконечно на ^ G [0,оо); 3) Число выходов a{t) за пределы заданного интервала [—а, /3], а > О, (3 > О, бесконечно на ^G[0,oo). □