10.3.4. Состояния равновесия. Отрезки покоя

Обратимся теперь к состояниям равновесия нелинейных систем. Выше было отмечено, что такими состояниями являются особые точки, в которых вектор фазовой скорости V обращается в ноль. Для линейных стационарных систем x{t) = Ax{t) выполнено ѵ{х) = Ах, поэтому множество состояний равновесия {ж*} - либо начало координат (при сІеіЛ / 0), либо многообразие более высокой размерности, но всегда - некоторое линейное подпространство (аннулируемое подпространство М{А) матрицы А) пространства состояний,

{ж*} = М{А), М{А) С X, см. сноску 3 на с. ИЗ.

Для нелинейных систем особые точки определяются из уравнения (10.12), согласно которому состояния равновесия X* должны удовлетворять нелинейному алгебраическому уравнению (точнее - системе уравнений относительно компонент X* вектора ж*):

Отсюда видно, что в зависимости от правых частей уравнения (10.12), множество состояний равновесия {ж*} могут иметь сложную структуру. Это может быть совокупность изолированных точек либо отрезок прямой [’’отрезок покоя”), часть плоскости {”пластинка покоя”, ”зона застоя”) и т.д.

Для иллюстрации на рис. 10.3 приведены примеры фазовых портретов систем с множеством изолированных состояний равновесия (а) и с отрезком покоя (б). ®