10.3.5. Неединственность решений. Пересечение траекторий

Как известно из теории дифференциальных уравнений [12], уравнение (10.12) имеет решение, притом единственное, при выполнении так называемого условия Липшица, согласно которому для всех х', х” G X суш;ествует константа {константа Липшица) L > О {L < оо) не зависяш;ая от х', х", что имеет место

Это утверждение является одной из теорем о суш;ествовании и единственности решений нормальной системы дифференциальных уравнений (10.12) [12, 79]. Условие Липшица означает, что функция /(ж) не должна изменяться в любой области пространства X быстрее некоторой линейной функции с константой, не зависяш;ей от выбора области.

Для линейных систем условие (10.14), очевидно, выполнено, что позволило в п. 5.1. сформулировать обш;ие свойства

фазовых портретов таких систем. Для нелинейных систем условие Липшица может быть нарушено. Например, система может содержать ’’разрывную” (релейную) нелинейность. Тогда в окрестности точек разрыва правые части уравнения (10.12) растут неограниченно быстро. Другим примером являются квадратичные, кубичные нелинейности, произведения переменных состояния в /(ж) и т.д.

В зависимости от вида функции /(ж) для нелинейных систем возможны разные процессы, вызванные нарушением указанного условия. Например, возможно слияние различных фазовых траекторий в одну. Такой вид поведения свойствен, прежде всего системам с разрывными нелинейностями. Например, в оптимальных по быстродействию системах во многих случаях все траектории сливаются в одну, проходяш;ую через заданную точку [76]. В системах с релейно-логическим управлением также возможен предельный цикл, состояш;ий из участков фазовых кривых, на который изображаюш;ая точка попадает из различных начальных условий за конечное время (см. рис. 10.4, а). Характерно также появление скользящих режимов^ при которых разные траектории попадают через конечное время на некоторую поверхность (не являю- ш;уюся, вообш;е говоря, решением (10.12)). Как частный случай движение по некоторой траектории может за конечное время привести к состоянию равновесия системы. Это означает, что переходный процесс в непрерывной нелинейной системе может иметь конечную длительность, что исключено для стационарных непрерывных линейных систем.

Заметим, что для таких систем теряется возможность определить развитие процесса в прошлом по его текуш;ему состоянию. Ранее динамические детерминированные системы были определены как системы, у которых по начальному состоянию и входному процессу можно однозначно определить будуш;ее поведение. Отмеченное выше свойство не противоречит данному определению, так как последнее относится к будуш;ему, а не к прошлому развитию процесса. Рассмотрим

теперь следующий пример.

Пусть система описывается уравпепием первого порядка

Положим Жо = 0. Очевидно, уравнение имеет тривиальное решение Xi[t) = 0. Кроме того, непосредственной подстановкой

убеждаемся, что функции X2{t) = — и Жз(^) = также есть

решения данного уравнения при указанном начальном условии.

Заметим, что в данном примере условие Липшица нарушено в окрестности начала координат.

Следовательно, нелинейность уравнений системы может привести к сложности в определении самого понятия ее состояния. Конечно, при технической реализации такой системы или ее моделировании развитие процесса пойдет по конкретной траектории, однако полученное решение будет сильно зависеть от начальных условий, погрешностей, возмущений. Здесь мы обращаем внимание на возникающие теоретические затруднения.