11.1.        Задачи и методы теории нелинейных систем

Имеются две основные задачи теории нелинейных систем управления.

Первая основная задача - анализ. Анализ состоит в исследовании известной математической модели системы с целью определения ее свойств и установления зависимости этих свойств от параметров системы. Различают следующие задачи анализа.

Анализ нри фиксированных параметрах. При исследовании свободного движения системы устанавливается разбиение пространства состояний на траектории. Выясняются существование и устойчивость установившихся режимов (к которым относятся состояния равновесия, предельные циклы), выясняются области притяжения этих режимов. Производится оценка качества переходных процессов.

Выполняется исследование характера вынужденных режимов при влиянии на систему внешних воздействий. Здесь требуется учитывать виды и уровни воздействий, возникающих в процессе эксплуатации системы.

Анализ нри различных параметрах. Рассматривается класс нелинейных систем одинаковой структуры, но обладающих различными параметрами {^^l, ■ ■ ■ , І^к}- Точка в пространстве параметров {^^} отвечает конкретной системе из данного класса. Пространство параметров разбивается на области с топологически эквивалентными фазовыми портретами. Границы этих областей называются бифуркационными поверхностями, построение которых и входит во вторую задачу анализа.

Вторая основная задача - синтез. Синтез заключается в определении закона управления, обеспечивающего требуемое (например, оптимальное, в каком-либо смысле) качество работы системы. Синтез может выполняться при заданной или свободной структуре регулятора.

Синтез при заданной структуре регулятора. Вид закона управления считается заданным, задача состоит в параметрическом синтезе, т.е. в определении параметров регулятора, обеспечивающих наилучшее значение заданного по-

казателя качества.

Наиболее простой с точки зрения привлекаемой теории является параметрический синтез. Он выполняется посредством анализа и отбора вариантов с помощью известных в математическом программировании алгоритмов оптимизации. Здесь, правда, следует учитывать, что объем работ при анализе может оказаться недопустимо большим для его многократного выполнения. Кроме того, важно правильно построить функцию качества системы, которая бы адекватно отражала характерную для практики многокритериальность при формализации задачи. Поэтому при параметрическом синтезе имеют большое значение и теоретические исследования.

Синтез при свободной структуре регулятора. Вид закона управления не задан и должен быть получен в результате синтеза. При такой постановке задачи используются методы перечисленных в п. 10.1. направлений теории систем (оптимальное, адаптивное и экстремальное управление, методы нелинейной коррекции, систем с переменной структурой и т.д.). Вопрос об использовании того, или иного, метода решается на основе предъявленных к системе требований и сведений об условиях ее работы.

Несмотря на то что синтез при свободной структуре регулятора кажется еш;е более сложным, чем параметрический синтез, надо заметить, что в теории известны некоторые подходы, при которых структура, а иногда и параметры закона управления, получаются ’’автоматически” исходя из цели управления. Это относится, например, к решению ряда оптимизационных задач [76, 94], к синтезу адаптивных законов управления [103, 106] и регуляторов с переменной структурой на скользяш;их режимах [102, 191]. Некоторые из перечисленных методов рассматриваются ниже.

Теория нелинейных систем прошла длительный путь становления и продолжает интенсивно развиваться в настояш;ее время. Эта теория постоянно обогаш;ается результатами, в ее рамках появляются новые направления.

Методы теории нелинейных систем можно разбить на аналитические и численные. Аналитические методы в свою очередь можно разделить на точные и приближенные. Среди численных методов исследования основную роль играют сейчас

машинные методы, связанные с изучением свойств нелинейных систем на ЭВМ, хотя находят применение и графические, или графо-аналитические, методы.

Точные методы в отличие от приближенных имеют строгое теоретическое обоснование, ясна область их применения, полученные с помощью этих методов результаты дают точные (с учетом выполненных предварительных допущений) сведения о системе. К недостаткам этих методов относится обычно сравнительно узкая область применения - некоторые усложнения модели системы могут привести к невозможности найти подходящий точный метод. Другим их недостатком могут оказаться высокие требования к теоретической подготовке исследователя. Приближенные методы менее зависят от сложности рассматриваемой задачи и, кроме того, ориентированы на использование инженерных методик проектирования.

Аналитические методы в принципе позволяют получить результат в общем виде - в форме соотношений, связывающих параметры системы с ее характеристиками. Это упрощает процедуру параметрического синтеза. Но аналитические методы обладают меньшей универсальностью, чем численные. Это связано с известной сложностью аналитического исследования нелинейных систем. Другой проблемой, возникающей при использовании аналитических методов, может стать сложность полученных выражений для последующего использования. В этом случае может оказаться, что непосредственное применение численных методов позволяет с меньшими предварительными затратами и допущениями получить требуемый результат.

Ниже будут рассмотрены некоторые известные методы исследования нелинейных систем.