11.2.2.     Метод точечных отображений

Метод точечных отображений, или отображений Пуанкаре, состоит в построении некоторой секущей поверхности С и траекторий, выпущенных из £. Одно из основных применений метода - анализ устойчивости и определение параметров (частоты и амплитуды) предельных циклов при п = 2. Изложим вкратце основные положения данного метода, следуя [79].

Пусть О есть некоторый предельный цикл. Выберем кривую С - секущую, без касания пересекающую Q. Пусть точка Хо Е G, Хо Е jC - точка пересечения кривых Q и £. Выберем близкую к ней точку х' G С. Пусть соответствующая х' траектория пересекает в следующий раз кривую С в некоторой точке х” G L. Зависимость х” = Ф(ж') есть точечное отобра-

жение, переводящее исходную точку пространства состояний в другую в соответствии с уравнениями системы. Точка Жо, находящаяся на траектории предельного цикла, является неподвижной точкой отображения Ф(-), т.е. выполнено равенство Жо = Ф(жо).

Введем р{х) - расстояние вдоль линии С от начальной точки О этой кривой до точки ж. Обозначим д = р{х'), h = р{х''). Используя точечное отображение, получаем функцию последования h = <~р{д). Очевидно, что если до = /о(жо), то неподвижная точка, принадлежащая предельному циклу, находится из решения уравнения

Графически решение этого уравнения можно представить как отыскание точек пересечения биссектрисы координатной плоскости [д, К) с функцией последования h = ^{д). Изучение поведения функции последования в точках пересечения дает возможность определить устойчивость соответствующего предельного цикла. Еслито имеется устойчивый предельный цикл (автоколебания); если то предельный цикл неустойчив (более подробные сведения приведены в [79]). Наибольшую сложность в использовании метода точечных отображений вызывает определение функции последования.

Пример использования метода точечных отображений для исследования генератора колебаний рассмотрен в п. 11.3.4. с. 256.

В последнее время появились публикации, в которых метод точечных отображений используется для исследования хаотических процессов, см. [72] и п. 13.3.