11.2.3. Условия существования предельных циклов для систем второго порядка

В рамках метода фазовой плоскости получены следующие результаты, имеющие важное значение при исследовании наличия предельных циклов у систем второго порядка [94]. К ним, в первую очередь, относятся теоремы Пуанкаре-Бендиксона.

Теорема 1 (А. Пуанкаре). Для произвольной замкнутой области фазовой плоскости ^ разница между числом находящихся внутри нее особых точек типа ’’узел”, ’’центр”, ’’фокус”

N и особых точек типа ’’седло” S равна 1, т.е. индекс Пуанкаре Ір = N — S = 1.

Теорема 2 ( первая теорема И. Бендиксона). Если для системы второго порядка

функции /і(жі, Ж2),/2(^1, Ж2) имеют частные производные по Хі,Х2, ТО предельный цикл не существует в той области V

фазовой плоскости, гдене равна нулю

или не изменяет знака.

Теорема 3 ( вторая теорема Бендиксона). Если траектория автономной системы второго порядка находится внутри ограниченной области V и при этом не стремится к положению равновесия, то эта траектория является либо устойчивым предельным циклом, либо стремится к нему.

Теорема 4 (А. Пуанкаре). Замкнутая траектория Q автономной системы второго порядка является устойчивым ^

предельным циклом, если