11.3.2.     Коэффициенты гармонической линеаризации

Согласно сделанному выше нредноложению, как на входе, так и на выходе нелинейного звена имеются гармонические процессы одинаковой частоты Q. Какой вывод можно сделать относительно свойств этого звена?

Рассмотрим следующие примеры.

Пример 1. Пусть a{t) = ЛзіпП^ - гармонический процесс с амплитудой Л / О и частотой Q. Предположим, что выходной процесс данного звена есть тоже гармоника частоты Q, совпадающая по фазе со входным процессом, но имеющая амплитуду Аі, т.е. l;{t) = ЛіЗІпП^.

Пз первого выражения находим, что sin Подста

вляя это выражение в формулу для ^{t), получим

А    А А

где q = —— некоторый коэффициент.

А    А

Таким образом, при сделанном предположении, рассматриваемое звено ведет себя как линейное безынерционное звено i^[t) = q<r[t) с коэффициентом передачи q. Такое звено можно описать передаточной функцией Wh(s) = q-

Замечание. Полученный результат не позволяет сделать вывод о том, что данное звено является линейным и бе- зынерционым, так как не рассмотрены произвольные входные процессы. Утверждается лишь, что по отношению ко входному гармоническому входному процессу с данными частотой и амплитудой рассматриваемое звено ведет себя как линейное.

Высказанному допущению о возможности учитывать только основную гармонику не противоречит зависимость отношения амплитуд Лі и Л и, следовательно, также коэффициента передачи q от амплитуды или от частоты входного процесса: q = q{A), q = q[A,Q). Соответственно получим Wh(s, А) = q{A), \Ѵн(в,Л,П) = q[A,Q) - передаточные функции гармонически линеаризованных звеньев зависят от А (или от Л и П), как от параметра. В такой зависимости и проявляется принципиальное отличие характеристик линейных звеньев от нелинейных.

Пример 2. Пусть теперь при том же входном процессе o-(t) = ЛзіпП^ выходной процесс имеет фазовый сдвиг, т.е. ^(^t) = Аі sinQt + Bi cos fit. Дифференцируя выражения для o-(t)

по ^ и предполагая, что Л / О, П / О, получим выражение для собШ черезПодставляя его в формулу

для и с учетом найденного в примере 1 выражения для

sinQt получимОбозначив q = —,Тт.

/ ^  t (4- \

q = ——, перепишем выражение для в виде

Л.

Как и в предыдуш;ем примере, коэффициенты д, д', называемые коэффициентами гармонической линеаризации нелинейных звеньев, могут зависеть от амплитуды и частоты входного процесса: q = q{A), q' = q'{A), или q = q{A, Q), q' = q'{A, Q). Полученному выражению соответствует передаточная функция звена форсируюш;его типа: W„{s,A,Q) = q(A) + ^^^—^—s. ® Рассмотрим теперь ’’технику” вычисления коэффициентов гармонической линеаризации. Пусть по-прежнему сг(^) = Лзіп Представим периодический выходной процесс в виде ряда Фурье [15, 66, 76, 94]:

Согласно принятой гипотезе, ограничимся слагаемыми с частотой не выше частоты основной гармоники, т.е. примем т Ао + Аі sin Ш + Ві cos Ш, где коэффициенты разложения Фурье определяются выражениями [66]

Подстановкой полученных значений в выражения для q{A),

q'{A) найдем, что

Вычисления но приведенным формулам достаточно просты, и для многих типовых нелинейных звеньев выполняются аналитически. Например, для релейного звена с характеристикой

Lp{a) = csign(cr) получается q{A) = —q'{A) = 0.

7Г А

Обратим внимание на то, что в данном методе в виде ряда представляется не нелинейная зависимость (как при обычной линеаризации по Тейлору), а процесс (функция от времени), что позволяет учесть специфические автоколебательные свойства нелинейных систем.

Заметим, что при симметричных колебаниях и нечетной однозначной статической нелинейности ^{■), как видно из (11.7) q' = О, что упрощает дальнейший анализ.

Отметим также, что коэффициенты гармонической линеаризации можно получить и при наличии постоянной (медленно меняющейся) составляющей на выходе линейной части системы: (j[t) = сгц -Ь ЛзіпП^. Это позволяет исследовать несимметричные колебания и влияние внешнего воздействия на систему (более подробные сведения приведены, например, в [94, ИЗ]).

Обратимся теперь непосредственно к исследованию замкнутой системы (11.2).