1.4.3.       Механические конструкции

Пример 1. Движение перевернутого маятника на тележке. Рассмотрим перевернутый (’’обращенный”) маятник (рис. 1.6), ось которого смонтирована на тележке, которая может перемещаться в горизонтальном направлении. На тележку вдоль направления перемещения действует внешняя сила F{t). Обозначим: т ж М - массы маятника и тележки;

L - расстояние между осью вращения маятника и его центром тяжести; J - момент инерции маятника относительно оси вращения; к - коэффициент ’’вязкого” трения; д - ускорение свободного падения. За нулевую точку отсчета угла отклонения маятника (f{t) примем направление ’’вертикально вверх”. Через s[t) обозначим перемещение тележки относительно выбранного начального (нулевого) положения.

Исходная математическая модель системы строится одним из методов теоретической механики, см. [62], например, в виде уравнений Лагранжа второго рода. Как показано, например, в [47], упрощенная линеаризованная модель данной системы относительно вектора состояния x{t) =

[s, s, s + L'if, 8 + Ь'ф]^ ивходаг((^) = F[t) может быть записана в виде уравнений (1.3) с матрицами

где через Li = обозначена эффективная длина маят

ника.

Как и выше, вид матриц С, D определяется условиями измерения.

Пример 2. Движение транспортного средства но неровной поверхности. Рассмотрим движение двухмассовой системы, состоящей из связанных рессорами корпуса массой Ші и колеса массой т^, перемещающейся по неровной поверхности [126] (рис. 1.7). Считаем, что система работает

в области линейных упругих деформаций и коэффициенты жесткости рессоры и колеса равны Агі, Агз. Обозначив через hi{t),   hs{t) соответственно вертикальное перемещение

корпуса, колеса и высоту поверхности (относительно некоторого уровня), для вектора x[t) = [hi[t), hi[t), /12(^1 ^г(0]^ ^ входного воздействия u{t) = /13(t) получим уравнения состоя-

ния вида (1.3) с матрицами

Если выходами считать положение корпуса Уі{і) = hi{t) и расстояние между осью крепления колеса и поверхностью

д

Уі(^) = h2{t) —    то получим матрицы

Пример 3. Динамика трехстепенного гироскопа. Рассмотрим трехстепенной гироскоп в кардановом подвесе, подверженный влиянию внешних моментов относительно карда- новых осей. Обозначим: а(^),/З(^) - углы поворота оси ротора гироскопа; Н - его кинетический момент; Jb, Jc ^ моменты инерции; Мв{і), Mc{t) - внешние моменты. Тогда линеаризованные уравнения движения оси гироскопа (в отклонениях относительно некоторого опорного угла /?о) имеют вид [91]

где параметры jic, характеризуют влияние сил вязкого трения;  ^ угловые скорости изменения направле

ния оси гироскопа. Введем вектор состояния x{t) = [а(^),

LOc{t),   Шв{і)]^ и вектор входа u{t) = [Мв{і), Mc{t)]. Тогда

уравнения состояния гироскопа могут быть записаны в виде (1.3), где

Как видно из приведенных примеров, несмотря на то что вектор состояния принадлежит некоторому абстрактному пространству X, его компоненты могут отождествляться с числовыми значениями конкретных физических переменных, представленных в выбранной системе единиц.

Рассмотрим теперь примеры разностных уравнений состояния (1.5). Как отмечено выше, такие уравненения используются при описании динамики систем дискретного времени, к которым относятся и цифровые системы обработки информации и управления.

Пример 1. Дискретное интегрирование. Процесс вычисления интеграла от функции непрерывного времени в дискретных системах аналогичен суммированию входной последовательности. Это можно представить рекуррентной формулой х[к + \] = х[к] + и[к], где и[к] - значения входного процесса, х[к] - вычисленное значение суммы {х[к\ =

Принимая за состояние и выход системы значения х[к], получим уравнения состояния в форме (1.5), где А= 1,В = 1,С = 1,0 = 0.

Заметим, что если вычислительное устройство достаточно производительно, при вычислении у[к] может учитываться в У [к] значение и[к] в тот же момент времени

Тогда в (1.5) D = 1.

Пример 2. Цифровая фильтрация. Рассмотрим цифровой нерекурсивный фильтр нижних частот, реализуюш;ий процесс вычисления скользящего среднего, например, за четыре такта работы: у[к] =   Этот алгоритм можно представить с помош;ью группы элементов памяти (или ’’задержки”), первый из которых воспринимает значение входного процесса. Па каждом следуюш;ем шаге выполняется ’’сдвиг” содержимого элементов памяти от первого элемента к последуюш;им. Таким образом, приходим к разностным уравнениям:

в результате чего получаем уравнения состояния (1.5) с ма-

трицами

Рассмотренный пример показывает, что уравнения состояния часто приводят к разреженным матрицам, которые содержат относительно большое число нулевых элементов. Поэтому для использования метода пространства состояний целесообразно прибегать к алгоритмам вычислений, ориентированным на действия с такими матрицами [77], а также использовать специальные (канонические) формы записи уравнений состояния. Некоторые из таких форм рассматриваются в главе 2. с. 67.