11.3.3. Уравнение гармонического баланса

Рассмотрим уравнение замкнутой системы (11.2), записанное в виде (11.3). Прежде чем обратиться к исследованию предельных циклов в нелинейной (линеаризованной) системе, повторим приведенные в п. 1.6.1. с. 46, рассуждения о реакции линейной системы на гармоническое входное воздействие применительно к рассматриваемому случаю.

Пусть линейная стационарная система описывается дифференциальным уравнением, которое для компактности записи представим в операторной форме (см.(11.3)):

Найдем частное решение этого уравнения нри ^[t) = для некоторого постоянного X Е С. Это решение будем искать в виде (т[і) = (Тое^*. Подстановкой выражений для ^{t), (т[і) в данное уравнение получим, что если имеет место нерезонансный случай, т.е. А(Л) / О, где A(s) - многочлен от переменной s £ С, коэффициенты которого совпадают с со- ответствуюш;ими коэффициентами операторного многочлена Л{р), функция a{t) указанного вида является решением, причем Сто = — . /, ч ^о ■ Окончательно, искомое решение имеет вид

А(Л)

cr{t) =   где \Ѵл(А) = ѴѴл(в)|^^д, W„(s) - передаточ

ная функция, соответствуюш;ая уравнению (И-3) (см. (И-2) и п. 1.6.). Положим теперь Л = jQ. Тогда a{t) =

- частотная передаточная функция рассматриваемой системы. Полученное выражение дает возможность найти реакцию на гармоническое входное воздействие в нерезонансном случае. Действительно, представив процесс =

^о cosily как l;{t) =   -|-  , используя свойство супер

позиции, получим

Представив теперь W„{jO.) =  , где H{Q) = ahs{W„{jO.))

д

- амплитудночастотная, а і/’(П) = arg(W„(jf^)) - фазочастотная характеристики линейной части системы, получим

Рассмотрим теперь замкнутую систему с линейной обратной связью, полагая = q<r[t). Полагая по-прежнему, что S,{t) =   ^о Ф О, получим систему уравнений

Подстановкой выражения для из первого уравнения во второе находим, что данные уравнения будут совместны для всех t, если справедливо выражение

которое является уравнением гармонического баланса для линейных систем. Итак, для суш;ествования незатухаюш;их

колебаний в автономной линейной системе с передаточной функцией \Ѵл(в), замкнутой отрицательной обратной связью с коэффициентом q необходимо, чтобы при некотором значении ш = О. амплитудно-фазовая характеристика ’’линейной части” системы Wп{]ш) проходила на комплексной плоскости через точку ( —д, 0).® Заметим, что выражение (И-8) не позволяет определить амплитуды колебаний ^о, о'о (так как условие баланса (11-8) не содержит этих величин). В этом проявляется отмеченное для линейных систем отсутствие изолированных замкнутых траекторий и, следовательно - автоколебаний. Разные начальные условия в таких системах приводят к разным амплитудам колебаний.

Обратимся теперь непосредственно к задаче исследования периодических режимов в нелинейной системе, предполагая, что вместо нелинейного звена взяты линеаризованные уравнения, полученные рассмотренным в предыдущем параграфе методом. Итак, будем считать, что система описывается уравнениями

в котором коэффициенты гармонической линеаризации q{A, Q), q'{A,Q) определяются соотношениями (11.6), (И-7). Пусть опять ищется решение в предположении, что ^[t) =    . Из

первого уравнения получаем (т[і) = ^qW, тогда

Имеем цепочку равенств

Как и выше, учитывая что ^[t) =   получаем следующее

уравнение гармонического баланса для нелинейной (линеаризованной) системы:

Найденное выражение является основным соотношением метода гармонической линеаризации и служит для определения параметров колебаний нелинейной системы. Важно отметить, что в условие гармонического баланса (11.10) входит и амплитуда колебаний. Следовательно, оно нарушается при изменении амплитуды. Таким образом, метод гармонической линеаризации позволяет учесть возможность суш;ество- вания предельных циклов у нелинейных систем.

Уравнение (11.10) записано в комплексных величинах. Ему соответствует система из двух уравнений с веш;ественными коэффициентами. В этой системе имеются две неизвестные величины - параметры Л и П. Следуюш;им шагом использования метода является разрешение (11.10) относительно указанных переменных.

Уравнение (11.10) записывают в разной форме [15, 76, 94, ИЗ].

Например, можно представить его в виде соотношения между многочленами в числителе и знаменателе передаточной фукнции линейной части. Тогда оно принимает вид

Если определить характеристический многочлен замкнутой системы както (11.11)

соответствует прохождению амплитудно-фазовой характеристики многочлена D(s) через начало координат, D(jJl) = 0.

В некоторых случаях удобнее рассматривать (11.10) как равенство двух параметрически заданных функций W„(jt<^) и

                                  Такой способ удобен, когда коэффици-

д{а,ш) +jq'{a,Lv)

енты гармонической линеаризации не зависят явно от частоты. В этом случае строятся две параметрические кривые -

годограф линейной части системы от параметра ш и годограф

функции   —    — - от параметра а. Точки их пересече-

q[a) +jq'[a)

ния отвечают уравнению гармонического баланса. В этих точках определяются = о; - по первой кривой и А = а - по второй кривой.

Следующим шагом является анализ устойчивости периодического режима. Данный анализ без строгого обоснования выполняется в рамках рассматриваемого метода с использованием отмеченных интерпретаций уравнения гармонического баланса с помощью критериев устойчивости линейных систем (амплитудно-фазового критерия Эрмита-Михайлова, критериев Найквиста, Гурвица). Достаточно подробные сведения приведены в литературе (см., например, [15, 66, 76, 94, 113]).