11.3.4- Пример. Исследование генератора колебаний

Рассмотрим упрощенную модель генератора незатухающих колебаний [79, 94]. Модель представляет собой колебательное звено с передаточной функцией W(s) = ^ 2         Г’

+ 2(,ioS + 1

замкнутое положительной обратной связью по скорости через релейный элемент и = csignir (рис. 11.1). Обратимся вна чале к описанному в п. 11.2.2. методу точечных отображений.

Для исследования системы используем каноническую форму фазовой переменной (см. с. 74), в которой переменные состояния связаны как функция и производная:

Xi[t) = x[t),x2{t) = x[t). Предполагая наличие в системе предельного цикла G, получим функцию последования. Для этого проведем из начала координат в сторону положительных значений х луч £ (рис. 11.2,а, а также рис. 10.2,6 на с. 234). Выберем начальную точку ж' G £. Требуется получить координаты точки ж" G £, в которой происходит следующее пересечение траектории и линии £. В выбранном базисе точкам на луче £ соответствуют нулевые значения ж, в верхней полуплоскости ж > О, следовательно к = с; в нижней полуплоскости X < О VL и = —с. Поэтому чтобы получить функцию последования надо рассмотреть переходную характеристику колебательного звена при начальных условиях ж(0) = д, ж(0) = О и

ж(0) = д',х{0) = О (рис. 11.2,6). Как известно [15, 76], эта ха-

д

рактеристика стремится к установившемуся значению х^о = Ит^_}.оож(^) = ки, где к - коэффициент передачи, и - величина входного воздействия (в рассматриваемом случае и = ±с, поэтому ж^ = —ск, ж+ = ск). Если известно перерегулирование а, то, как нетрудно убедиться, при произвольном ж(0) и ж(0) = О выполнено тах^ ж(^) = Жоо+О" (ждо — ж(0)) . Применяя эту формулу дважды (при Жоо = —ск, ж(0) = д и Жоо = ск, ж(0) = д^).

находим д‘ = —{1 + ск) — ад, h = ск + а{ск — д') = ск{1 + аУ + сг‘^д. Следовательно, функция последования <f{g) в рассматриваемом примере линейная и имеет <f{g) = ск{1 + аУ + а’^д. Для определения амплитуды предельного цикла следует решить уравнение gQ = ‘f{go), что приводит к формуле

У устойчивых колебательных звеньев параметр О < с < 1, поэтому формула (11.12) приводит к конечным положительным значениям амплитуды колебаний на выходе системы (очевидно, что для предельного цикла = тах^ж(^) = до). Граничным является случай (7 = 1, соответствуюш;ий консервативному звену ((^ = 0). При этом положительная обратная связь с ограниченным по уровню сигналом приводит к неограниченному росту ’’амплитуды” выходного процесса. Графически это явление представляется отсутствием пересечения функции последования <f{g) с биссектрисой координатного угла плоскости (g,h). Исследование устойчивости периодического режима производится по значению производной

. В рассматриваемом примере эта производная рав-

*^9 д-до

на о < 0"^ < 1, следовательно, в системе устанавливаются автоколебания с амплитудой, определяемой формулой (11.12). Графически сходимость колебаний к предельному циклу из разных начальных значений ж(0) = и ж(0) = д‘‘ показана на рис. 11.3.

Частоту автоколебаний можно определить исходя из вида весовой функции w{t) колебательного звена. Так как

w{t) = тщ exp sin  ( ^ > 0), где Л = \/l - С

[15, 76], то точки пересечения предельного цикла с линией С

^ттТ

отстоят во времени на —, ° . Поэтому частота автоколеба- ПИЙ П связана с параметрами То, С звена W(s) соотношением

П =  .

-J-0

Рассмотрим теперь решение той же задачи методом гармонического баланса. Выходом линейной части системы является сигнал a{t) = x{t). Линейная часть описывается передаточной функцией \Ѵл(в) = ^2 2 ,    ГТ входа = u{t)

-J-O^ +   + i

к выходу cr{t). Следует учесть, что в рассматриваемом примере обратная связь положительная (рис. 11.1), поэтому уравнение гармонического баланса (11.10) записывается с противоположным знаком в правой части: (д(Л,П)-Ь +jq'{A,n))WM = 1- Уравнение нелинейной части системы имеет вид ^(t) = csigncr(^). Для релейного звена д(А) =

7Г Тт.

Получаем следующее уравнение:

Отсюда находим параметры предельного цикла П =

-J-0

А = . Поскольку выходом линейной части системы здесь

тгСіо

является производная от выхода колебательного звена, для вычисления А^ следует найденную амплитуду А разделить на значение АЧХ дифференцируюш;его звена на частоте ш = Q. Птак, по методу гармонического баланса получаем

Интересно сравнить полученный результат с точной формулой (11.12). Для этого следует установить связь между относительным коэффициентом демпфирования ( колебательного звена и перерегулированием ст. Исходя из аналитического выражения для переходной функции [15, 76], нетрудно

получить, что сг = ехр  , ^  . Используя эту зависи-

V Ѵі-СѴ

д

мость, найдем абсолютную АА = АІ — А^ ш относительную

5А = ошибки (Аі вычисляется по формуле (11.12), А^. -

по формуле (11.13)). Результаты отражены на рис. 11.4, где показаны графики относительных (к величине коэффициента передачи ск) амплитуд колебаний и а также график относительной ошибки формулы (11.13) в зависимости от параметра Из графиков видно, что при (^ < 0.5 относительная ошибка не превышает 10%, что является вполне удовлетворительной точностью определения характеристик системы с учетом погрешностей, неизбежно имеюш;ихся в ее математической модели [72, 87]. Заметим, что относительная ошибка определения частоты колебаний Q несколько больше. Как следует из точной и приближенной формул, при (^ = 0.5 эта ошибка составляет около 15%, а при = 0.6 она равна 25%.

Рассмотренный пример показывает, что метод гармонического баланса может служить достаточно надежным способом определения параметров предельных циклов, однако полученные с его помош;ью результаты нуждаются в проверке (см. сноску 6 на с. 249). Если вернуться к рассмотренному примеру, то отношение амплитудно-частотных характеристик линейной части системы на частотах  и 2Q

-to

составляет при = 0.2 величину 3.9, при = 0.5 - 1.8, при (^ = 1.0 - 1.25 . Следовательно, гипотезу фильтра при близкой к единице, нельзя считать выполненной.

Метод функций А.М.Ляпунова {прямой, или второй метод Ляпунова) относится к точным аналитическим методам. Он является фундаментом теории нелинейных систем. Основы этого метода заложены А.М. Ляпуновым в 90-х годах XIX столетия. Имеется большое число публикаций по развитию результатов Ляпунова и еш;е большее - по применению метода Ляпунова в различных областях теории систем управления. Здесь ограничимся краткими сведениями об основных идеях данного метода (подробнее см. в [64]).