11.4.1. Основные определения Рассмотрим вначале однородное уравнение

полагая, что /(0) = 0. Тогда точка ж = О является особой точкой - состоянием равновесия системы. Этому начальному состоянию соответствует тривиальное решение x{t) = О, которое называется невозмущенным движением (11.14). Ири Жо / О получаем возмущенное движение. Ставится задача исследования устойчивости положения равновесия. На содержательном уровне она означает определение характера поведения возмуш;енного решения: будет ли оно при возрастании t приближаться к состоянию равновесия или удаляться от него. Прежде чем дать точные формулировки, рассмотрим более обш;ую задачу.

Выше принято, что /(0) = 0. Насколько обш;им является это условие? Пусть, например, для некоторого ж* / О выполнено /(ж*) = 0. Тогда состоянием равновесия является точка ж*, которой соответствует решение x{t) = ж*. Чтобы свести задачу к указанной выше, сделаем замену переменных Ax{t) = x[t) — ж*. Тогда Джо = Жо — ж*, x[t) = Ax{t) + х*, x{t) = Ax{t). Отсюда получаем уравнение Ax{t) = f{Ax[t)),

где функция f{Ax{t)) = f{Ax + x*{t)) удовлетворяет условию /(0) = 0. Поэтому получаем задачу исследования устойчивости тривиального решения Ax{t) = 0.

Аналогично, если требуется исследовать устойчивость движения по некоторой траектории x*{t), являюш;ейся решением

ж(0) = Xq, после замены переменных и подстановки Ажо = Xq — X*, x{t) = Аж(^) + ж*, x{t) = Air(t) + x*{t), приходим к уравнению в отклонениях Ax[t) = /(Аж(^), tj, в котором функция /(о, ^) = О для всех t.

Следовательно, рассмотренные задачи сводятся к исследованию невозмущенного движения уравнения (11.14) либо более общего неоднородного уравнения

Приведем некоторые определения [12, 66, 76, 94].

Определение 1. Положение равновесия устойчиво {по Ляпунову) при t —> оо, если для любого е > О можно указать такое (5 > О, что для всех ||жо|| < S справедливо неравенство ||ж(^)|| < е для всех t > 0. □

Если через Sp обозначить область ||ж|| < р, то данное определение означает, что любая траектория, начинающаяся в Ss^ не достигнет

Замечание 1. В приведенном определении Ss, - сферические области (в заданной нормой || • || метрике). Пх можно считать произвольными замкнутыми ограниченными областями Ss С Ss ф {0} (рис. 11.5).

Замечание 2. Фактически такой вид устойчивости означает непрерывную зависимость решений от начальных условий, равномерную по t [12, 79].

Замечание 3. Про устойчивость по Ляпунову иногда говорят, что это ”устойчивость в малом”. Область

Ss, обеспечивающая заданные ограниченные отклонения от состояния равновесия, может иметь малые размеры. Важно, что она ненулевая. В качестве примера, можно рассмотреть ’’обращенный маятник” с сухим трением. Имеется конечная (пусть небольшая) область начальных состояний, в котором его вертикальное положение устойчиво.

Замечание 4. Положение равновесия устойчивых линейных систем устойчиво по Ляпунову. Положение равновесия и предельный цикл автоколебательных нелинейных систем, вообще говоря, неустойчивы по Ляпунову.

Определение 2. Положение равновесия асимптотически устойчиво, если: 1) оно устойчиво по Ляпунову; 2) существует А > О такое, что для любого ||жо|| < А выполнено Ит^^оож(^) = О (рис. 11.6).

Область Sa называется областью притяжения^ или областью асимптотической устойчивости^ а точка Жо = О - притягивающей (в »?д). □

Определение 3. Положение равновесия асимптотически устойчиво в целом [глобально асимптотически устойчиво)^ если в условиях Определения 2, = Д' - все пространство состояний. □

Определение 4. Положение равновесия неустойчиво (по Ляпунову)^ если для всех (5 > О найдется Xq G »S^), такое, что соответствующее решение за конечное время достигнет границ области (рис. 11.7). □

Заметим, что асимптотически устойчивые линейные систе-

мы глобально асимптотически устойчивы. Также отметим, что, хотя у линейной системы, фазовый портрет которой имеет вид узла, имеются асимптотически стремящиеся к состоянию равновесия траектории, такая система неустойчива по Ляпунову.