11.4-2. Устойчивость .множеств и частичная устойчивость

Для расширения класса рассматриваемых задач используются и другие определения устойчивости. Многие из них связаны с переходом от устойчивости точки или конкретной траектории к устойчивости множеств.

Например, для исследования автоколебательных систем и движущихся по замкнутым траекториям объектов, вводится понятие орбитальной устойчивости. Для него используется расстояние р{х, (/) между точкой х и множеством Q, определяемое, как

Определение 5. Траектория Q орбитально устойчива^ если для любого е > О можно указать такое (5 > О, что для всех Жо таких, что р{хо, (/) < S, справедливо неравенство p[x[t),Q) < е для всех t > 0. □

Аналогично, можно дать и определения асимптотической орбитальной устойчивости, глобальной асимптотической орбитальной устойчивости и т.д. В данном определении рассматривается близость решения к процессу, как к некоторому множеству точек. Поэтому расстояния между точками возмущенного и невозмущенного движений в каждый данный

момент времени могут оказаться большими, но траектории остаются близкими (рис. 11.8).

Будем нреднолагать, что решения уравнения (11.14) определены на бесконечном интервале времени О < t < -Ьоо. Траектории, продолженные на весь этот интервал, называются целыми траекториями. Заметим, что движение изобража- юш;ей точки, начинаюш;ееся в положении равновесия, или на замкнутой траектории, будет оставаться там для всех моментов времени. Соответствуюш;ие множества точек образуют инвариантные множества в пространстве состояний [34, 94].

Определение 6. Инвариантным множеством Л4 называется множество {х} точек таких, что из x{to) G Л4 для некоторого to следует, что x{t) G Л4 для всех —оо < t < -Ьоо.

Если это множество включает все возможные значения ж(^о), для которых выполнено указанное условие, то оно называется наибольшим инвариантным множеством. □ Имеется следуюш;ее определение устойчивости инвариантного множества, обобш;аюш;ее понятия орбитальной устойчивости и устойчивости положения равновесия [28, 86].

Определение 7. Инвариантное множество Л4 устойчиво (относительно системы (11.14)), если для всех е > О можно указать такое (5 > О, что для всех Xq таких, что р{хо, Л4) < S выполнено р{х, Л4) < е для всех t > 0. □

Аналогично дается и определение асимптотической устойчивости инвариантного множества.

Устойчивость множеств относится к классу свойств частичной устойчивости систем. Другим подобным свойством является устойчивость по отношению к функции. Рассмотрим систему с выходом

где X G ^ G 7^"“, < п, f{x) и /г(ж) - непрерывные вектор- функции. Пусть система (11.15) имеет равновесие х = х* (общий случай сводится к этому заменой координат и рассмотрением уравнений возмущенного движения).

Определение 8. Решение х = х* системы (11.15) называется устойчивым по отношению к функции h{x), если для любого е > О найдется 5(e) > О, такое, что для всех начальных значений Xq, удовлетворяющих условию \xq — х*\ < 8 решение x[t) с начальным условием ж(0) = Xq определено при всех ^ > О и выполняется неравенство

Если решение х = х* устойчиво по отношению к /г(ж) и, кроме того, выполняется условие аттрактивности

то решение х* называется асимптотически устойчивым по отношению к функции h[x).

Если решение ж = ж* устойчиво по отношению к функции /г(ж), все решения системы (11.15) определены при всех ^ > О и условие аттрактивности (11.18) выполняется для любых начальных условий Жо, то решение ж = ж* (и система (11.15)) называется глобально асимптотически устойчивой по отношению к функции h[x).

Очевидно, при Пу_ = п ш h[x) = X определение 8 совпадает со стандартными определениями устойчивости по Ляпунову и асимптотической устойчивости. Сам А.М. Ляпунов занимался исследованиями именно этого частного случая. В 1957 г. В.В. Румянцев сформулировал критерии устойчивости по отношению к части переменных, соответствующей случаю ж = со1{у, z}, h[x) = у. Подробнее о свойствах и условиях частичной устойчивости см. в [28, 29, 64, 86]. Отметим,

что устойчивость по отпошепию к функции /г(ж) не сводится к устойчивости множества {x:h[x) = /г(ж*)}, как показывает следующий пример.

Пример. Рассмотрим систему 2-го порядка

При начальных условиях Жі(0) = 1, ^2(0) = а система имеет решение

Рассмотрим функцию выхода

и вычислим скорость ее изменения вдоль решений системы:

Следовательно, —Ah < h < —3/г < О и, значит, h{xi{t)x2{t)) —>■ О и h{xi{t), X2{t)) —>■ О при t —>■ 00. Однако, никакое решение (11.19) с начальным условием ^2(0) = а / О не стремится к множеству S = {(жі, x2)'.h{xi, Х2) = 0} = {(жі, Х2)'.Х2 = 0}. Это легко видно из (11.20). □

При исследовании систем, подверженных ограниченным возмущениям, оказываются полезными следующие два определения [34, 64].

Определение 9. Система называется устойчивой по Лагранжу, если каждое ее решение неограниченно продолжаемо вправо, т.е. имеет смысл при О < ^ < оо и все фазовые траектории ограничены на [О, оо) (рис. 11.9). □

Определение 10. Система называется предельно ограниченной {диссипативной по Левинсону), если существуют области •Sa, •Sg такие, что 5д С и для всех Xq G (5д существует момент времени t* < оо (возможно, зависящий от Xq), что при всех t > t* выполнено Xq G Sg. □

В данном определении 5д называют иногда областью диссипации, а Sg - предельным множеством.

Если Sa - все пространство, то система называется предельно ограниченной в целом (рис. 11.10).

Данные определения являются наиболее распространенными, хотя представляют собой малую часть определений устойчивости, используемых в теории систем.