11.4.3. Функции -Ляпунова

Перейдем теперь непосредственно к изложению основных идей и некоторых результатов метода функций Ляпунова. Начнем рассмотрение со следующего примера.

Рассмотрим систему первого порядка, п = 1, уравнение

которой имеет вид

Пусть функция /(ж) удовлетворяет дополнительному условию xf{x) < о при ж / О, т.е. ее график лежит целиком во втором и четвертом квадрантах, причем /(ж) = О только в точке ж = 0. Другой информации о виде этой функции нет. Требуется исследовать устойчивость состояния равновесия системы (11.21).

Введем вспомогательную функцию Ѵ(х) = -ж^. Заметим,

что У(0) = О и У(ж) >0 при ж / 0. Значения х = x{t) меняются в соответствии с уравнением (11.21). Следовательно, в силу этого уравнения будут также изменяться и значения функции У (ж) = V{x(t)). Пайдем производную этой функции по времени в силу уравнения (11.21). По правилу дифференцирования сложной функции получаем Ѵ(х) = x(t)x[t) = ж/(ж), т.е. для каждого момента времени значение Ѵ(х) определяется в каждой точке пространства состояний по координатам этой точки и значению функции /(ж). Поэтому для нахождения V(х) не требуется получать решения (11.21).

Далее заметим, что при всех ж / О выполнено V(ж) < О, значит, функция V(t) монотонно убывает, стремясь при ^ оо к нулю. Следовательно, величина |ж(^)| также будет монотонно убывать (что следует из вида функции V(х)) и x{t) —>■ О при t —>■ оо) Поэтому можно сделать вывод, что система (11.21) асимптотически устойчива в целом. Следует обратить

внимание на то, что вывод об устойчивости состояния равновесия получен без решения уравнения (11.21), более того,

- при самых обш;их предположениях о виде функции /(ж).

Данный пример относился к системе первого порядка. Излагаемые ниже теоремы ляпуновского типа применимы для произвольного п.

Рассмотренная в данном примере функция является представителем функций Ляпунова. Имеется несколько определений этих функций. Поэтому уместно обратиться к разъяснению, данному самим А.М. Ляпуновым в его основополагаю- ш;ем труде 1892 г. [60].

”К другому [методу] мы причислим все те, которые основываются на нринцинах, не зависящих от разыскания каких- либо решений дифференциальных уравнений возмущенного движения.; и вообще в основании всех тех из них, с которыми встретимся далее, всегда будет лежать разыскание функций неременных Жі, Ж2,... , ^ но некоторым данным условиям, которым должны удовлетворять их полные производные по t, составленные в предположении, что Жі, Ж2,..., х„ суть функции t, удовлетворяющие уравнениям.”

Сам А.М. Ляпунов применял разработанный им метод к задачам исследования устойчивости систем. Однако во второй половине XX в. выяснилось, что этот подход с успехом работает и для анализа качества систем, устойчивости множеств, колебательности и других динамических свойств нелинейных систем, а также для решения задач синтеза. Это привело к пониманию метода функций Ляпунова как ведущего метода исследования нелинейных систем.

В данной главе мы рассмотрим лишь основные теоремы метода функций Ляпунова, а также типичные примеры их применения для анализа устойчивости систем.