11.4-4- Устойчивость непрерывных систем

Будем рассматривать функции Ѵ{х), удовлетворяющие следующим требованиям: 1) V(х) непрерывна и непрерывно-дифференцируема по ж в некоторой области Q С X, содержащей начало координат; 2) V(х) обращается в ноль в начале координат: У(0) = 0; 3) Ѵ(х) положительно определена, т.е. положительна всюду, кроме начала координат: Ѵ(х) >0 при ж / 0. □

Функция ѴК(ж) называется отрицательно определенной, если

—    W{x) положительно определена.

Если неотрицательная функция может обращаться в ноль не только при ж = О, то она называется неотрицательно определенной {знакоположительной).

Для формулировки дальнейших результатов понадобится производная по времени функции Ляпунова в силу системы

(10.12)   (уравнения которой при п = 1 совпадают с (11.14)).

Используя правило дифференцирования сложной функции и операцию вычисления производной скалярной функции по

векторному аргументу получим

Приведем теперь формулировки некоторых теорем.

Теорема 1. Об устойчивости (А.М. Ляпунов).

Если при X £ Q существует положительно-определенная функция Ѵ{х) такая, что ее производная в силу системы

(10.12)   знакоотрицательна, то состояние равновесия устойчиво по Ляпунову.

Теорема 2. Об асимптотической устойчивости (А.М.Ляпунов).

Если при X Е Q существует положительно-определенная функция Ѵ(х) такая, что ее производная в силу системы

(10.12)   отрицательно определена, то состояние равновесия асимптотически устойчиво по Ляпунову.

Теорема 3. Об асимптотической устойчивости в области За (асимптотической устойчивости ”в большом”) [93, 94].

Если при выполнении условий теоремы 2 для некоторого С* > О неравенство V(х) < С выполнено в замкнутой окрестности начала координат За, {0} G За, то состояние равновесия {0} асимптотически устойчиво с областью притяжения За (см. определение 2, с. 263).

Теорема 4. Об асимптотической устойчивости в целом {теорема Барбашина-Красовского).

Если в условиях Теоремы 2 множество П совпадает со всем пространством, т.е. Q = X, а V(х) ^ оо при ||ж|| —>■ оо, то система асимптотически устойчива в целом.

Функция Ляпунова, удовлетворяющая приведенному в данной теореме условию роста, иногда называется радиально неограниченной [64, 93]. Про функцию V{x,t), зависящую яв-

но от времени и удовлетворяющую для всех t неравенству V{x,t) > W{x), где W{x) —> оо нри ||ж|| —> оо, говорят, что она допускает бесконечно большой нижний предел.

Теорема 5. О неустойчивости (А.М.Ляпунов).

Если Ѵ{х) положительно определенная функция и сколь угодно близко от начала координат есть точки, где V{х) > О, то начало координат неустойчиво по Ляпунову.

Заметим также, что устойчивость по Лагранжу имеет место, если Ѵ[х) < О и 1/(ж) —> оо при ||ж|| —> оо, а предельная ограниченность в целом - если V {х) —> оо при ||ж|| —> оо и Ѵ{х) <0 при всех X ^ Ss-

Приведенные условия имеют достаточно наглядную геометрическую интерпретацию. Согласно выражению (11.22), значение V представляет собой скалярное произведение градиента функции V на вектор фазовой скорости в данной точке. Поэтому V(ж) есть скорость прохождения изображающей точки по нормали к линиям равного уровня функции Ѵ{х) (рис. 11.11). Если вследствие отрицательной определенности функции V движение по всем траекториям (в области ^д) направлено внутрь поверхностей V = const, то состояние равновесия устойчиво асимптотически.

Знакоотрицательность, или отрицательная определенность, функции Ѵ(х), согласно (11.22), может быть выражена уравнением в частных производных

где Q{x) - некоторая знакоположительная или положительно определенная функция. Уравнение (11.23) часто называют, аналогично соответствующему матричному уравнению, уравнением Ляпунова [93]. В более общем случае, когда функции Ѵ{-), /(•) зависят явно от времени, V = V(x,t), / = f{x,t) получается дифференциальное уравнение Ляпунова

Эти уравнения находят различные применения в теории систем (см. [3, 23, 47, 73, 93], а также с. 209).

Использование приведенного выше (с. 265, п. 6) понятие инвариантного множества позволяет обобщить метод функций Ляпунова и расширить область его применения [94, 174]. Прежде всего это относится к возможности определения предельных циклов и анализа их устойчивости а также к доказательству асимптотической устойчивости если не удается показать, что V(х) является отрицательно определенной (а не только знакоотрицательной).

Для этого заметим, что из неравенства Ѵ(х) < О, выполненного для всех X, принадлежащих некоторой ограниченной области Qc, следует, что в области Qq функция V{x{t)) не может возрастать (а только убывать или оставаться постоянной). Отсюда следует, что при ограниченной снизу функции V(х) точки, в которых Ѵ{х) <0 не могут служить предельными точками для решений системы. Следовательно, представляют интерес точки, в которых V(х) = 0. Этот путь рассуждений отражен следующей теоремой [54].

Теорема 6. О сходимости к множеству (Ла-Салль).

Пусть V(х) - скалярная функция, непрерывно дифференцируемая по X, и область Qq определяется как Qq = {х :Ѵ{х) < С}. Пусть Qc ограничена и П С Qq есть множество точек, для которых Ѵ(х) < 0. Пусть также Л4 С Q есть наибольшее инвариантное множество в ш. Тогда с ростом t каждое решение Qc стремится к Л4.

Можно заметить, что теорема 3 об асимптотической устойчивости вытекает из данной как частный случай при Q = {0}, но теорема 6 позволяет получить и дополнительные результаты (см. 11.4.6.).

При исследовании устойчивости используется понятие и>- предельного множества Г+ решения x[t) уравнения (11.21),

как множества точек, к которым это решение стремится нри t ^ оо. Если x{t) ограничено, то оно нри t ^ оо всегда стремится к Г+. Известно, что если x{t) ограничено (для всех ^ > 0), то его о;-нредельное множество Г+ непусто, компактно и является инвариантным множеством.

Основной проблемой при использовании данного метода является выбор подходяш;ей функции Ляпунова: если функция данного вида ”не подходит”, то это еш;е не означает неустойчивости системы - возможно, другой выбор функции Ляпунова позволит доказать устойчивость (или неустойчивость) системы. Хотя обш;его аналитического метода построения функций Ляпунова не суш;ествует, для их конструирования имеются некоторые рекомендации [66, 76, 93, 94].

Часто функции Ляпунова берут в виде квадратичных форм, т.е. выражений вида

где матрица Н симметрична и положительно определена (в смысле положительной определенности полученной функции), Н = Н >0. Такие функции удовлетворяют сформулированным выше (пп. 1-3 на с. 270) требованиям и, кроме того, условию роста Ѵ{х) —>■ оо при ||ж|| —>■ оо, что важно при доказательстве глобальной устойчивости.

Для проверки положительной определенности матрицы Н = Н можно использовать критерий Сильвестра, согласно которому (аналогично критерию Гурвица) требуется положительность главных угловых миноров матрицы Н. Известно также, что матрица Н положительно определена, если все ее собственные числа положительны.

Если рассматриваемая система линейная, f{x,t) = A{t)x, и функция Ляпунова выбрана в виде некоторой квадратичной формы V{x,t) = X H{t)x, то уравнение Ляпунова (11.24) принимает вид

где Q{t) = Q{t) > О (> 0) - некоторая симметричная матрица. В стационарном случае, V = Ѵ{х), A[t) = А, Q{t) = Q, представляет интерес установившееся решение (11.25), которое находится из уравнения

Уравнения (11.25), (11.26) называются матричными {дифференциальным и алгебраическим) уравнениями Ляпунова. Как известно из теории матриц [53], суш;ествование единственной положительно определенной матрицы Н, являюш;ейся решением (11.26), эквивалентно гурвицевости (устойчивости) матрицы А. Более подробно [3, 30], если матрица А - гурвице- ва, то уравнение (11.26) относительно пхп-матрицы Н = Н имеет решение и притом - единственное которое выражается формулой

Если Q = Q" > О, ТО я = > о и нуль-пространство матрицы Н инвариантно относительно А : из Нхд = О следует ЯАхо = 0.

Изучение устойчивости линейных стационарных систем через построение функций Ляпунова не представляет практического интереса, но, как отмечено выше, уравнения Ляпунова находят применение при решении многих задач теории управления. В Ириложении С. на с. 432 описано обраш;ение к процедуре Іуар пакета MATLAB, служаш;ей для численного решения уравнения (11.26).

Для механических, электрических и других систем, не содержаш;их вносяш;их дополнительную энергию элементов (такие системы называются пассивными), в качестве функции Ляпунова целесообразно использовать полную энергию (см. пример в п. 11.4.6.).

Если в рассматриваемой системе реализуется движение в направлении градиента некоторой целевой функции [8, 36, 78, 93] (такие системы называются градиентными), то целесообразно в качестве функции Ляпунова брать саму целевую функцию.

Если система содержит (одну) скалярную нелинейность (рис. 10.1, с. 230), функцию Ляпунова удобно брать в виде ’’квадратичная форма плюс интеграл от нелинейности”, предложенном А.И. Лурье т.е.

- так называемая ” функция Ляпунова-Лурье”

Для систем с к нелинейностями аналогично используется функция

Подробнее использование функций этого типа рассмотрено в [56].

Находит также применение аппарат векторных функций Ляпунова [90, 93]. Эти функции получаются как набор отдельных функций, построенных для подсистем, из которых состоит рассматриваемая система.