11.4-5. Устойчивость дискретных систем

Рассмотрим вкратце некоторые подходы и результаты применения метода Ляпунова для исследования дискретных систем [36, 78, 110, 174]. Основные идеи совпадают с теми, которые изложены выше для систем непрерывного времени.

Пусть стационарная дискретная система описывается нелинейным разностным уравнением

Предполагаем, что точка ж = О есть состояние равновесия системы (11.27), т.е. /(0) = О и х[к] = О есть тривиальное решение (11.27). Как и для непрерывных систем, при исследовании устойчивости некоторого другого состояния равновесия X* (т.е. такого состояния, для которого выполнено х* = /(ж*)), можно перейти к исследованию устойчивости нулевого состояния через уравнения в отклонениях, которые получаются из (11.27) относительно отклонения Ах[к] = х[к] — ж*.

Как и выше (с. 270), введем положительно определенную функцию Ѵ{х). Приведем некоторые теоремы ляпуновского типа для дискретного случая [110].

Теорема 1. Об устойчивости систем дискретного времени.

Если суш;ествует положительно определенная функция V(х) такая, что в силу системы (11.27) при всех х £ Q выполнено

то состояние равновесия устойчиво (асимптотически устойчиво) по Ляпунову.

Теорема 2. Об устойчивости в целом дискретных систем. Если функция V(х) асимптотически устойчивой системы удовлетворяет условию роста V(х) —>■ оо при А; —>■ оо, то состояние равновесия асимптотически устойчиво в целом.

Формулировка теоремы об инвариантных множествах для дискретного случая, как и теорем 1, 2, получается из формулировок соответствуюш;их теорем для непрерывных систем заменой условия У < О на АѴ(х) < 0.

Рассмотрим применение метода Ляпунова к линейным дискретным системам. Пусть система описывается линейным разностным уравнением

Введем функцию Ляпунова V(х) = х^Нх, Н = > 0. Вычислим АѴ{х) = V{f{x)) —Ѵ(х) в силу системы (11.29). Так как /(ж) = Ах, получим

Асимптотическая устойчивость системы обеспечивается отрицательной определенностью полученной квадратичной формы; другими словами - суш;ествованием положительно

Т

определенного решения Н = Н >0 алгебраического уравнения Ляпунова для дискретных систем

Как и в непрерывном случае, этот результат не имеет самостоятельного значения для исследования устойчивости линейных систем, но уравнение (11.30) находит применение в

других задачах [47, 73]. В Приложении С. (на с. 427) приведено обращение к MATLAB-программе dlyap для решения (11.30).

Кроме прямого метода Ляпунова, для исследования устойчивости дискретных систем используются и несколько иные подходы. К ним относится применение принципа сжимающих отображений и теоремы о неявной функции [78].

Папомним, что отображение / = f{x),x G ТІ"', f G TZ" называется сжимающим, если ||/(ж) — /(у)|| < L\\x — у\\, L < I.

17

Принцип сжимающих отображений [78] гласит, что если /

- сжимающее отображение, то оно имеет единственную неподвижную точку X* (т.е. такую, что х* = f{x*), см. также с. 246), к которой сходится процесс (11.27) при любом Xq со скоростью геометрической прогрессии

Заметим, что здесь не утверждается необходимость выполнения указанного условия для устойчивости системы (11.27). Папример, устойчивость линейной системы (11.29) не обязательно вытекает из данного принципа [78].

Теорема о неявной функции служит для анализа устойчивости неявных дискретных моделей [72, 78] (см. также п. 6.10.2. с. 161).

В заключение заметим, что прямой метод Ляпунова весьма плодотворен, но из-за сложности выбора функций Ляпунова остается, в основном, инструментом теоретиков, позволяющим получить общие сведения о поведении систем разных классов.

Рассмотренные ниже в п. 11.5. методы теории абсолютной устойчивости иллюстрируют возможности применения метода Ляпунова для получения инженерных критериев устойчивости [30, 83, 94].

Более подробно применение функций Ляпунова к синтезу нелинейных и адаптивных систем рассмотрено в книге [64].