11.4-6. Примеры

Пример 1. Собственные движения маятника. Рассмотрим уравнения математического маятника массой m и длиной I (см. также с. 23). Учтем влияние момента сил сопротивления, вызванного ’’вязким” трением. Полагаем, что этот момент пропорционален величине угловой скорости. Угол отклонения маятника от вертикальной оси ip{t) подчиняется уравнению  + рф{і)+ mglsimp{t) = О, в котором J = тР

- момент инерции маятника; /О > О - коэффициент трения (считаем, что <,£? = О соответствует положению ’’вертикально вниз”). После деления на J запишем это уравнение в виде

где параметр loq =

Полная энергия Н маятника включает кинетическую и потенциальную составляюш;ие и определяется выражением

Введем вектор состояния х = со1{і,£?, ф} и перепишем уравнение (11.31) в виде

Зададимся функцией Ляпунова Ѵ{х), пропорциональной

. 2

Н{ір,ф), а именно, положим V(х) = ^   — созжі) [х =

со1{|,£?, 1^}). Как нетрудно убедиться, данная функция удовлетворяет перечисленным на с. 270 условиям положительной определенности за исключением п. 3, так как Н[ір, <^) = О на множестве точек с координатами ір = ±2А;7Г, ф = О (к = 0,1,2,...), а не только в начале координат. Поэтому ограничимся в дальнейшем областью П = {ж : |і,£?| < тг, Ѵ(х) < 2uJq}. Границей данной области является кривая с координатами {ір,ф), при которых полная энергия маятника равна наибольшему значению ее потенциальной составляюш;ей,

Нц = тах^ (^mgl[l—cos ip)) = 2mgl. Эта линия выражается формулой Х2 = о;о Y^2(cos”ic7^rTy. Очевидно, что Q является ограниченной окрестностью начала координат, внутри которой функция Ѵ(х) обраш;ается в ноль только при ж = 0.

Вычислим производную V{x{t)) в силу системы (11.33). В соответствии с формулой (11.22), с. 271, получим

Поскольку выполнено неравенство Ѵ(х) < О при х G П, то согласно теореме 1 (с. 271) положение равновесия устойчиво по Ляпунову.

Рассмотрим теперь отдельно случаи = О {демпфирование отсутствует) и д > О (демпфирование есть).

При ^ = О из (11.34) следует, что V(х) = О, т.е. функция Ляпунова остается неизменной. Так как выбранная функция V(х) пропорциональна полной энергии системы, то полученное выражение означает, что энергия маятника при отсутствии трения постоянна, т.е. рассматриваемая система является консервативной. Пз равенства V(х) = С для некоторого заданного О < С* < следует, что фазовые траектории удовлетворяют уравнению

Заметим, что это же выражение можно получить исходя из (11.33). Действительно, исключая из (11.33) время t, получим уравнение х2(1х2 = —ш^ишхі(іхі, интегрирование которого дает (11.35). Метод Ляпунова позволяет определить свойства системы без вычисления ее решений или нахождения фазовых траекторий.

Таким образом, исследуя поведение функции Ѵ{х) находим, что для всех t переменные состояния системы подчиняются уравнению (11.35). В области Q имеется единственное состояние равновесия ж = 0. Оно не удовлетворяет (11.35) при С* / 0; следовательно, движение маятника будет иметь характер незатухаюш;их колебаний с амплитудой, зависяш;ей от начальных условий (от константы С). Фазовые траектории (и совпадаюш;ие с ними линии равного уровня функции Ѵ{х)) при = О показаны на рис. 11.5, с. 262.

Рассмотренный пример позволяет также проследить связь между функцией Ляпунова консервативной системы и известным в теории дифференциальных уравнений понятием первых интегралов.

Как известно [12, 79], первым интегралом уравнения X = f{x),xETZ’^ называется функция Q{x) определенная и непрерывная вместе со своими частными производными в некотором открытом множестве Q (содержащемся в области, где определена и непрерывна вместе со своими частными производными вектор-функция /(ж)), если при подстановке в Q{x) произвольного решения, траектория которого расположена целиком во множестве Q, получается постоянная относительно t величина. Любой первый интеграл удовлетворяет условию [79]   = О- Сопоставляя это условие с формулой (11.22) видим, что если имеется возможность использовать

д

первый интеграл в качестве функции Ляпунова, Ѵ{х) = Q{x), то У (ж) = О и система консервативна.

Перейдем теперь к рассмотрению системы с демпфированием, Q ф Заметим, что из (11.34) следует, что Ѵ(х) = О только при Ж2 = 0. Для остальных точек пространства состояний она отрицательна. Следовательно, указанное в теореме 6 множество U! является прямой Ж2 = 0. По в рассматриваемой области нет ни одной целой траектории, для которой X2{t) = О, за исключением начала координат. Поэтому Л4 = {0}. Согласно утверждению теоремы, при t ^ оо каждая траектория стремится к множеству Л4, т.е. к точке ж = 0. Таким образом, доказана асимптотическая устойчивость в большом положения равновесия системы (11.33), несмотря на отсутствие отрицательной определенности функции Ляпунова.

Фазовая траектория и линии равного уровня функции V(ж) показаны на рис. 11.11, с. 272. Поведение функции Ляпунова и ее производной во времени для выбранной фазовой кривой показано на рис. 11.12.

Пример 2. Возбуждение колебаний маятника. Обратимся снова к движению маятника, полагая, что на него действует внешний управляющий момент M[t). Введем управляющее воздействие u[t) = МІІІ Пренебрежем силами трения. Тогда, вместо (11.31) получим уравнение

Для полной энергии маятника Н выполнено соотношение (11.32). Рассмотрим задачу возбуждения колебаний маятни-

ка, которая сводится к выводу на заданный уровень и стабилизации энергии Н маятника (подробнее см. [6, 64]). Для этой цели можно использовать пропорциональный

или релейный

алгоритмы управления [6, 64]. Они являются разновидностями алгоритмов скоростного градиента. (Сведения о методе скоростного градиента приведены в Приложении А., п. А. см. выражение (А. 15) на с. 410). В выражениях (11.37), (11.38) через Н* обозначен требуемый уровень энергии, а 7 > О - параметр алгоритма (для (11.37) это коэффициент усиления, а для (11.38) - величина’’полки” реле).

Как и выше, возьмем функцию Ляпунова пропорциональ-

Р

ную полной энергии маятника, Ѵ{х) = + uJq{\ — созжі), где X = со1{<^, <^}, и вычислим ее производную в силу системы. Получим

При использовании пропорционального закона управления (11.37) находим, что

а для релейного закона управления (11.38) -

Отсюда видно, что при Н < Н* ж ф ф производная У > 0. Поскольку ф[і) = О совместимо с уравнениями системы только при <f[t) = О, начало координат («^ = = 0) неустойчиво по Ляпунову. Вне этой точки следует рассмотреть множество, определяемое условием Н = Н*. Нетрудно убедиться, что оно является инвариантным множеством, так как при к(^) = О и соответствующих начальных условиях (таких, что ЯН0),ѵ5(0)) =Я*) получается траектория, для которой H[t) = Н* (см. выше уравнение (11.35), с. 280). Так как при Н > Н* имеет место У < О, а функция У - положительно

определенная в области = {ж : У(ж) < 2uJq} (см. с. 279), то все траектории, начинающиеся внутри этой области (кроме тривиального решения ip{t) = 0) будут асимптотически стремиться к предельному циклу, определяемому условием H{t) = Н*. Следовательно, в системе возбуждаются автоколебания заданной амплитуды.

На рис. 11.13 показана последовательность положений маятника при возбуждении колебаний по знаковому алгоритму (а) и соответствующий фазовый портрет (б).

Пример 3. Исследование автоколебательной системы.

В данном примере рассмотрим так называемое уравнение Баутина: [52]

где O’ > О, а > О - параметры. Состояние ж = О является состоянием равновесия Исследуем устойчивость этого состояния наличие у системы предельных циклов. Введем квадратичную функцию Ляпунова V(х) = xf + х^. Заметим что условие роста (см. теорему 4, с. 271) для этой функции выполнено. Производная Ѵ{х) в силу системы (11.42) определяется выражением Ѵ[х) = [х\ -Ь х1)[а'^ — хі — хі). Нетрудно заметить, что V(х) >0 при ||ж|| < а VL X ф 0. Следовательно, состояние равновесия неустойчиво по Ляпунову. В области ||ж|| > а выполнено У(х) < О, поэтому система является диссипативной и все траектории, начинающиеся вне области ||ж||| < а стремятся к ней. Так как V(х) =0 при ||ж|| = а и в силу того, что решение Xi{ty + X2{ty = удовлетворяет (11.42), то данное решение является асимптотически устойчивым предельным циклом - система (11.42) является автоколебательной.

Для иллюстрации на рис. 11.14 а. показаны графики функций Ѵ{х),Ѵ{х), (принято а = 1,а> = тг) на которых отражены траектории процессов V{x{t)) при начальных условиях Жо = [—0.1,0] (расходящиеся колебания) и Жо = [—3,0] (затухающие колебания). Соответствующие фазовые траектории приведены на рис. 11.14 б.

Пример 4. Преследование зайца. Рассмотрим погоню собаки за зайцем [174]. Предположим, что заяц движется вдоль оси ж с постоянной скоростью Ѵг, а гончая - с постоянной по модулю скоростью причем вектор скорости в каждый момент времени направлен на зайца (траектория сближения в этом случае представляет собой трактрису., или ” со-

бачью тропу”). Обозначим через х^,ун и Хг,Уг, соответственно, координаты гончей и зайца. Тогда Xr{t) = Уг{і) = О, Уг(0) = 0. Учитывая направление вектора скорости гончей, получим, что для некоторой постоянной А; > О выполнено

Постоянную к определим из очевидного соотношения Xh{t)'^ + yh{t)'^ = vl- Тогда

I)   д    д

в относительных координатах х = Xh — у = ун эта система

принимает вид

Спрашивается, поймает ли собака зайца? В терминах рассматриваемой модели это значит: всякое ли решение с начальным состоянием (жо,уо) стремится к началу координат? Для ответа на поставленный вопрос исследуем устойчивость решений (11.43). Заметим, что уравнения (11.43) не определены в точке X = у = О (когда заяц пойман).

Для выбора подходяш;ей функции Ляпунова учтем, что целью преследования является уменьшение расстояния между собакой и зайцем. Именно расстояние и будем использовать в качестве функции Ляпунова: Ѵ{х,у) = х"^ +у‘^. Производная этой функции в силу (11.43) равна V(ж, у) = —2ѵд   —

Видно, что при Vh > Ѵг функция Ѵ{х,у) < О во всех точках, кроме начала координат. Следовательно, если гончая бежит быстрее зайца (а заяц - по прямой), то она его поймает (асимптотически).

Пример 5. Устойчивость нелинейной дискретной системы. Рассмотрим систему [174]

Состояние X = 0,х = со1{жі, Х2} является состоянием равновесия (действительно, условие х* = f{x*) нри х* = О, очевидно,

выполнено). Введем функцию Ляпунова Ѵ(х) = xl + xl. Чтобы проверить, убывает ли она вдоль траекторий системы (11.44), вычислим V{f{x)). Получим

Отсюда видно, что V{f{x)) < V(х) при ж / 0. Несложно проверить выполнение и других условий теоремы 2 с. 277, следовательно, состояние равновесия ж = О дискретной системы (11.44) асимптотически устойчиво в целом.