11.5.1. Задача абсолютной устойчивости

Предпложим, что нелинейная система представлена в виде системы Лурье: линейной динамической подсистемы и нелинейного статического звена в цепи обратной связи. Для простоты ограничимся случаем системы с одним нелинейным блоком, уравнения которой, следовательно, можно представить в виде ( см. 11.3)

где р = — - оператор дифференцирования Л{р), В{р) - операторные многочлены.

Линейная часть рассматриваемой системы имеет передаточную функцию от входа (—^) к выходу а:

где аргумент s Е С, а многочлены B(s), A(s) получаются заменой аргумента р в Л{р), В(р) на s.

Займемся задачей исследования устойчивости замкнутой системы (11.47) не для конкретной функции f{cr), а для всех таких функций, принадлежащих некоторому множеству (классу) Ф.  Таким образом, рассмотрим некоторые общие условия устойчивости, не зависящие от того, какая конкретно нелинейная зависимость имеет место.

Определение [30]. Линейная часть системы (или, короче, система (11.45)) абсолютно устойчива в классе Ф нелинейных блоков (11.46), если любая замкнутая система (11.45), (11.46) с функцией ір(-) G Ф абсолютно устойчива в целом. □

Физически это означает, что система имеет достаточно хорошие свойства, которые не пропадают при замене одних блоков из данного класса другими.

Обычно рассматриваются так называемые секторные нелш- нейности, удовлетворяющие условию

Заметим, что условия (11.48) можно переписать в виде одного квадратичного неравенства

Прежде чем перейти к критериям абсолютной устойчивости нелинейных систем, рассмотрим подобную задачу для линейного случая, т.е. будем считать, что ^р{(т) = ко(т для некоторого постоянного коэффициента ко- С помощью известных в теории линейных систем методов можно установить граничные значения параметра ко, при которых сохраняется устойчивость линейной системы ко G [кі, к2].'^^, Этот промежуток определяет так называемый сектор (угол) Гурвица. Графически условие устойчивости выглядит в виде сектора на плоскости {f, а), ограничивающего график зависимости

LP = Lp[(j).

в конце 40-х годов М.А.Айзерманом была выдвинута гипотеза, согласно которой сектор абсолютной устойчивости нелинейной системы совпадает с сектором Гурвица, т.е. каждая нелинейная система, у которой график зависимости ір = Lp[(j) лежит внутри гурвицевого угла, устойчива в целом [15, 76, 94]. Впоследствии были найдены опровергающие примеры, хотя гипотезу Айзермана можно использовать для многих практически важных случаев. Известны попытки уточнить формулировку этой гипотезы с тем, чтобы расширить область ее применения. Например, Р. Калманом предъявлены более жесткие ограничения: согласно гипотезе Калмана, устойчивость линейной системы должна иметь место для всех ко, ограниченных не только сектором, содержащим нелинейность f{cr), но и граничными значениями производной [94]. Заметим, что функции f{cr), удовлетворяющие гипотезе Калмана, удовлетворяют и гипотезе Айзермана. Но, хотя данная гипотеза оказывается справедливой для более широкого класса систем, для нее также найдены опровергающие примеры.

Перейдем к строгим критериям.

Для последующего изложения пригодится трактовка секторного условия устойчивости линейной системы по частотному критерию Найквиста. Как нетрудно заметить, устойчивость линейной системы в секторе Гурвица означает, что амплитудно-частотная характеристика линейной части системы Wn{ju>) не пересекает отрезок вещественной оси

— —, — — , охватывая его требуемое (по количеству ”не- /t2 -I

устойчивых” полюсов разомкнутой системы) число раз.

Сформулируем основные положения наиболее известных критериев абсолютной устойчивости: кругового критерия и критерия Попова. Более подробное изложение, включающее и доказательства, можно найти в [56]. Доказательства основаны на так называемой частотной теореме (лемме) В.А.Якубовича-Р.Калмана, (см. [30, 76] и ниже с. 321)