11.5.2. Круговой критерий

Пусть выполнены следующие условия:

1) кі <    < ^2, O' / Oj ¥^(0) = О (т.е. выполнено сектор-

(7

ное условие (11.48)), причем кі ф оо, к2 ф —оо; 2) существует такое ко, кі < ко < к2, что линейная система с обратной связью вида ^р{(т) = ко(т асимптотически устойчива; 3) разомкну-

ЛЛ7 / \

тая система W„(sj = -г—не имеет полюсов на мнимои оси, Т.е. A„(jo;) ф О для всех ш] 4) при всех ш G [^эо, -Нэо] выполнено частотное условие Re^(H-A;iWn(jt<^))* (A;2W„(jt<^) + l)^ >0.^^ Тогда замкнутая нелинейная система абсолютно устойчива в заданном классе нелинейных блоков, более того, имеет место равномерная экспоненциальная устойчивость, т.е. существуют такие постоянные с > О, е > О, что для любого решения системы (11.2) и любых t > to выполнено |ж(^)| < с|ж(^о)|е-^(‘-‘°) [30].

Частотное условие 4 графически интерпретируется, как отсутствие общих точек у АФХ линейной части системы с окружностью с центром на вещественной оси, проходящей на

1 1

этой оси через точки — —, — —.

h,2

Видно, что круговой критерий задает более жесткие условия для линейной части системы, чем гипотеза Айзермана. Подчеркнем, что он является только достаточным условием абсолютной устойчивости в том смысле, что невыполнение условия 4 означает неприменимость к данной системе этого критерия. Возможно, посредством другого критерия абсолютную устойчивость удастся обосновать.

Круговой критерий исчерпывает все критерии, которые могут быть получены с помощью квадратичной функции Ляпунова Ѵ[х) = X Нх, Н = Н >0 [30]. Рассмотрим теперь следующий, более ’’тонкий” частотный критерий В.М. Попова, который для простоты сформулируем лишь для случая кі = О (общий случай может быть сведен к этому заменой

ф = LP + кіа).

Частотный критерий В.М. Попова гласит, что если выполнены условия: 1) линейная часть системы асимптотически устойчива; 2) нелинейность ір[-) - однозначная и стационарная (допускаются изолированные точки разрыва первого рода), О < ^ < /г, сг / О, <,£?(0) = О (А; = оо не исключается);

(7

3) существует г? такое, что для всех о; G [О, оо] справедливо частотное неравенство —-bRe^(l-bja;t?)W„(jt<^)^ > О, то имеет

место абсолютная устойчивость в заданном классе нелинейных блоков [15, 30, 76, 83, 94].

Данный критерий имеет удобную геометрическую интерпретацию. Для этого вводится видоизмененная частотная характеристика VK*(jo;) = t/*(o;) +     где t/*(o;) = =

д

Re(W„(jt<^)), = o;Im(W„(jt<^))- Тогда, в соответ

ствии с частотным неравенством, годограф видоизмененной

частотной характеристики должен лежать ’’правее” некото-

1

рой прямой, проходящей через точку — — на вещественной

к

оси.

Заметим, что выполнение приведенных условий Попова означает существование у системы функции Ляпунова вида V(ж) = х^Нх + -Ѳ (p(a)da. [30, 94].

Подробные сведения о более общем методе получения частотных условий устойчивости - частотной теореме Якубови- ча-Калмана приведены в [30] и в [56].

Обратимся теперь к задаче исследования специфических движений, появление которых возможно у нелинейных систем с разрывной правой частью - скользящих режимов.