11.6.1. Понятие о скользящих режимах

Пусть (замкнутая) система описывается уравнениями вида (10.7):

либо эквивалентными им уравнениями вида (10.8), (10.9):

Кроме того, используем следующую форму записи уравнений системы [102], в которой явно выделено управляющее воздействие u[t) :

Известно много систем, для которых нелинейные зависимости (функции в правых частях (11.51)) претерпевают разрыв. Типичными примерами служат механические системы с сухим (кулоновским) трением, различные системы с релейным законом управления, в том числе и оптимальные по быстродействию системы управления, а также системы с регуляторами переменной структуры (СПС) ([8, 76, 93, 102, 191]).

Для таких систем возникают трудности, связанные с определением движений на множестве точек разрыва. В некоторых ситуациях решение можно получить, рассматривая движение системы до и после точки разрыва, используя конечные значения переменных состояния в качестве начальных на следующем участке траектории. Такая ситуация имеет место, когда фазовые траектории ’’прошивают” поверхность разрыва. Но возможны случаи, в которых фазовые кривые ’’стыкуются” на поверхности разрыва. Тогда изображающая точка не может покинуть эту поверхность и остается на ней. Возникает ’’скользящий режим” - движение изображающей точки по поверхности разрыва в течение некоторого конечного интервала времени. Существенно, что в этом случае решение бесконечно много раз попадает на поверхность разрыва. Здесь моменты разрыва не являются изолированными точками, как в предыдущем случае, а образуют отрез-

ки оси времени. Возникает вопрос определения понятия решения уравнений с разрывной правой частью, когда моменты, для которых наступает разрыв, плотно лежат на некотором интервале. Данные определения должны учитывать как инженерно-физические, так и математические соображения. Они должны обеспечивать возможность математического исследования систем (включая теоремы существования и продолжимости решений, теоремы устойчивости), а также адекватно описывать физическую реальность [30].

Известно несколько способов определения движений в сколь- зяш;ем режиме. Рассмотрим некоторые из них.

Среди указанных методов можно выделить физический и аксиоматический подходы [30, 102].

Физический подход развит в работах М.А. Айзермана и Е.С. Пятницкого и вкратце состоит в следуюш;ем. Для рассматриваемой системы составляется более точная математическая модель, в которой учитываются такие факторы, как запаздывание, гистерезис, инерционность, ограниченность скорости изменения сигнала и коэффициента усиления, и т.д. Действие этих факторов приводит к тому, что в рассматриваемой модели системы отсутствует описанный выше ’’идеальный” скользяш;ий режим и возникает ’’реальный” скользяш;ий режим с изолированными моментами разрыва правых частей уравнений. Изображаюш;ая точка не остается на поверхности разрыва, а ’’прошивает” ее в противоположных направлениях. Для таких систем исчезает отмеченная выше специфическая проблема, связанная с тем, что моменты принадлежности изображаюш;ей точки поверхности разрыва образуют отрезки времени, следовательно решение может быть получено обычным образом. После того, как получены уравнения реального скользяш;его режима, выполняется предельный переход. Движение системы в идеальном скользяш;ем режиме рассматривается как предел, к которому стремится реальный скользяш;ий режим при стремлении указанных факторов к нулю.

С одной стороны, такой подход оправдан с инженерной

точки зрения. С другой стороны, он является трудоемким. Кроме того, нет гарантии, что нри составлении модели учтены все (или именно те, которые необходимы) факторы. Эти обстоятельства препятствуют применению физического подхода, в том числе и в практических приложениях.

Аксиоматический подход состоит в доопределении уравнений системы при движении в скользящем режиме таким образом, чтобы получились уравнения с гладкой правой частью, решения которых описывали бы движение по поверхности разрыва. Применение аксиоматического подхода существенно проще, чем физического, но полученные с помощью его результаты нуждаются в проверке с точки зрения соответствия физической реальности. В качестве критерия адекватности иногда используют физический подход [102].

В следующих параграфах аксиоматический подход рассмотрен более подробно.