11.6.2. Определение движения в скользящем режиме

Задача определения движений в скользящем режиме разными авторами рассматривается в несколько отличающихся постановках.

В большом числе математических работ рассматриваются уравнения вида (11.49) и считается, что на некоторой поверхности, заданной уравнением a{x,t) = О, функция /(•) претерпевает разрыв первого рода, т.е.

Требуется определить такую непрерывную (по х) функцию f'^{x,t), чтобы уравнение x[t) = fo[x,t) описывало движение изображающей точки по поверхности разрыва, т.е. при a{x,t) =0 на некотором временном интервале.

Другими словами, если векторы фазовой скорости по разные стороны от поверхности разрыва ѵ+(ж), ѵ~{х) направлены в противоположные области, то в системе возникает скользящий режим. Требуется определить вектор фазовой скорости

на поверхности <r[x,t) = О, при котором изображающая точка двигалась бы по указанной поверхности.

В работе [30] дается несколько другая постановка данной задачи. Рассматриваются уравнения (11.50) и считается, что при некоторой а = сго(^) функция имеет разрыв. Ста

вится задача определения выходов нелинейных блоков t) при a{t) = сго(^).

Для таких систем в [30] рекомендуется использовать запись уравнений нелинейной части системы в виде включений ^{t) G     где функция f{(T,t) принимает конкретные зна

чения вне точек разрыва (и тогда включение превращается в обычное равенство) либо имеет значения из некоторого выпуклого множества S, например промежутка [^“, ^+]. Тогда задача определения движения в скользящем режиме сводится к определению конкретного значения ^о(0 ^ “ при a{t) = (То{і). Заметим, что если вернуться к предыдущей постановке задачи, то такой подход аналогичен использованию вместо дифференциального уравнения (11.49) дифференциального включения x{t) G /    t) .

В работе [102] рассматриваются уравнения вида (11.51), причем считается, что управляющее воздействие имеет разрыв на поверхности a{x,t) = О, т.е.

Требуется найти такое непрерывное управление ищ[і) (называемое ’’эквивалентным”), которое отвечало бы движению системы по поверхности разрыва a{x,t) = 0.

Рассмотрим теперь некоторые методы определения решений систем с разрывной правой частью.

Одним из наиболее известных методов определения решений разрывных систем является метод А.Ф. Филиппова.

В этом методе используются уравнения вида (11.49). Для определения поля фазовых скоростей на поверхности разрыва в соответствии с определением Филиппова следует построить отрезок, соединяющий концы векторов ѵ+(ж) и ѵ~{х) для данной точки на поверхности разрыва и провести из точки х вектор ѵ°{х) в точку пересечения данного отрезка с касатель-

ной плоскостью. Полученный вектор и является искомым вектором фазовой скорости на поверхности разрыва.

Как показано в [30], определению Филиппова соответствует минимально возможное множество t) из всех допустимых, поэтому для данного метода чаще, чем для других, имеется единственность решений. Однако, как отмечено там же, имеется много случаев, когда физически осмысленные решения не являются решениями в смысле Филиппова.

Согласно работе [30], решения разрывных систем должны удовлетворять уравнениям вида (11.50), где уравнения нелинейных блоков понимаются как включения, т.е. выполнено

Вектор-функция l;{t) называется тогда доопределенной нелинейностью. Каждому решению x{t) соответствует своя доопределенная нелинейность. При det і? В / О, можно получить из уравнений системы единственным образом, а именно, как

Таким образом, согласно [30], неоднозначная нелинейная функция ір{-) в (11.50) принимает конкретные (и различные в разные моменты времени) значения согласно поведению линейной части системы.

Далее будем рассматривать системы, у которых dim^(^) = dimcr(^) = m и i-я компонента вектора f зависит от г-й компоненты вектора а: (сг,).

Для того чтобы определить, как ведет себя решение в скользящем режиме, надо принять, что по условию должно выполняться равенство a{t) = (То{і). Таким образом, для линейной части можно записать систему алгебро-дифференциальных уравнений

где (To{t) - заданная функция времени. Характеристический многочлен этой системы имеет вид

По лемме Шура D(s) =det(sl„ —Л) det (— C{sl„ — А)~^В). Поскольку полученное выражение есть произведение характеристического многочлена линейной части системы на определитель ее передаточной матрицы, то имеем следующий результат.

Характеристический многочлен системы линейных дифференциальных уравнений, описывающих полный (т.е. для всех компонент вектора (т{і)) скользящий режим системы (11.50), с точностью до знака совпадает с произведением характеристического многочлена линейной части системы на определитель ее передаточной матрицы [30].

Для систем с одной скалярной нелинейностью характеристический многочлен скользящего режима с точностью до знака совпадает с числителем передаточной функции (в случае вырожденности которой предполагается, что степень знаменателя равна порядку уравнений состояния системы, сокращений не произведено).

Рассмотрим теперь изложенный в [102] метод эквивалентного управления. В данном методе используются уравнения вида (11.51). Предполагая наличие в системе скользящего режима по поверхности іт(ж) = 0, получаем, что в производная по времени от    в силу системы (11.51) должна равняться

нулю. Так как эта производная зависит от управления, то можем найти соответствующее эквивалентное управление ищ[і) из уравнения a[t) = 0. Найденное управление подставляется в уравнения (11.51), которые решаются совместно с уравнением скользящего режима  = 0. Как и выше, получаем систему алгебро-дифференциальных уравнений, которая

в данном случае имеет вид

Рассмотрим более подробно применение метода эквивалентного управления для системы вида (11.50), полагая cro(f)= 0. Сравнивая (11.50) и (11.51), получим

Вычисляя (т[і) находим, что (т[і) = С(Ax[t) + Ви[і)), откуда по методу эквивалентного управления Ugq[t) = —[CB)~^CAx[t) (полагаем deiCB ф 0). Отсюда получаем систему алгебродифференциальных уравнений

Нетрудно убедиться, что данная система имеет характеристический многочлен D(s) = det(sl„ — А) det ( — C'(sl„ — А)~^В), совпадающий с полученным выше по методу работы [30] многочленом.

Таким образом, мы видим, что часто разные способы определения движений в скользящем режиме приводят к одинаковым результатам. Более подробные сведения имеются в работах [30, 102].

Столь большое внимание к определению поведения систем в скользящих режимах связано не только со стремлением к полноте математических методов теории систем или с появлением разрывных зависимостей при описании некоторых физических процессов. Как отмечено выше, имеется целый класс систем с искусственно введенной нелинейностью, которые работают в принудительно возбужденном скользящем режиме - системы с переменной структурой (СНС) со скользящими режимами [8, 21, 101, 102, 191]. Сведения о построении и использовании таких систем приведены в п. 12.1.