12.1.        Системы с переменной структурой в задаче управления

Для управления в условиях неполной информации о параметрах объекта могут оказаться эффективными так называемые системы с переменной структурой (СПС) [8, 9, 40, 102, 191]. Основная идея построения СПС состоит в использовании переключающихся законов управления (соответствующим различным структурам замкнутой системы) [40, 102]. Переключение происходит на основе текущей информации о состоянии объекта управления в соответствии с выбранной функцией переключения.

Возможны различные способы построения СПС. Наиболее универсальным и разработанным методом является принудительная организация в замкнутой системе скользящих режимов^ при которых изображающая точка в пространстве состояний системы движется по выбранной поверхности. Па эту поверхность точка попадает за конечное время после начала переходного процесса [101, 102], а затем остается на ней неограниченно долго (или в течение конечного промежутка времени). В результате, поведение замкнутой системы мало зависит (или совсем не зависит) от параметров объекта управления, а определяется выбранным при синтезе регулятора уравнением поверхности переключений. ^

Как будет показано ниже, принудительные скользящие режимы позволяют снизить чувствительность системы к параметрическим и координатным возмущениям, а также добиться инвариантности по отношению к задающему воздействию. Это связано с тем, что ” разрывный” характер управления сближает СПС с системами, имеющими бесконечный коэффициент усиления (в то же время, само управление в СПС остается ограниченным). Создание устойчивых скользящих режимов в СПС достигается с помощью переключения закона управления (обычно - путем изменения его параметров) на основе информации о текущем состоянии объекта [8, 102, 191]. Этот режим является желательным для обеспечения инвариантности системы [102]. ^ Требуемые динамические свойства замкнутой системы обеспечиваются надлежащим выбором поверхности переключения, вид которой задается при синтезе. Полезной особенностью скользящих режимов является также возможность декомпозиции задачи проектирования. Синтез регулятора разбивается на две более простые подзадачи:

-    создание устойчивых скользящих режимов]

-    выбор поверхности переключения, движение по которой обладает желаемыми свойствами.

Скользящие режимы могут использоваться также для идентификации параметров и состояния объекта, построения экстремальных и адаптивных систем [5, 21, 102].

Рассмотрим задачу стабилизации линейного стационарного объекта со скалярным управлением. Динамика объекта задается уравнением

Зададим (как это обычно делается) линейное уравнение желаемой поверхности скольжения

где С* = [ci, С2,... , с„] - вектор-строка постоянных параметров, значения которых определяется при синтезе системы.

Скользящему режиму в системе соответствует тождество СГ( = О (через сг^ обозначено значение при функции x{t),

удовлетворяющей (12.2)).

При синтезе СПС с принудительно организованными скользящими режимами требуется обеспечить выполнение следующих условий [8, 102]:

-    попадание изображающей точки на поверхность разрыва (12.2);

-    возникновение скользящего режима на этой поверхности;

-    устойчивость скользящего режима.

Скользящий режим возникает, если отклонение от поверхности СГ( и скорость его изменения (Т^ имеют разные знаки, т.е.

Другими словами, в окрестности поверхности скольжения должно иметь место неравенство

Выполнение этого неравенства для всех х £ X ,t £TZ является достаточным (но не необходимым, [102]) условием попадания изображающей точки на поверхность разрыва.

Движение системы в скользящем режиме описывается системой уравнений (12.1), (12.2), которые эквивалентны уравнению порядка п — I. Как отмечено выше, характеристический многочлен этого уравнения совпадает с числителем передаточной функции от и к сг :

и, следовательно, зависит от коэффициентов с,- вектор-строки (Іхп-матрицы) С.

Эти коэффициенты определяются методами теории линейных систем, исходя из требований устойчивости и качества процесса стабилизации. Возможность использования СПС со скользящими режимами для решения задач адаптивного

управления определяется тем, что при соответствующем выборе переменных состояния динамика движения системы по поверхности скольжения зависит от вектора С, а не от параметров объекта (матриц А, В). ^

Управляющее воздействие должно быть выбрано так, чтобы обеспечить устойчивый скользящий режим по заданной поверхности (гиперплоскости). Здесь проявляется упомянутая декомпозиция задачи синтеза СПС - обеспечение качества процессов в системе (в скользящем режиме) и обеспечение устойчивого скользящего режима являются разными подзадачами. Возможность их независимого решения упрощает процедуру синтеза.

Рассмотрим сначала управление в виде линейной комбинации переменных состояния системы [101]

где коэффициенты регулятора претерпевают разрыв на поверхности іт(ж) = О и определяются выражением

Здесь к^, к~ - постоянные коэффициенты закона управления, определяемые при синтезе. Для их выбора используем неравенство (12.4) СГ((7( < 0. Исходя из этого условия, получим [101] неравенства

где а® - столбцы матрицы А = , а^,... , а" . Эти же условия достаточны и для попадания на плоскость Сх = О из любого исходного состояния. Следовательно, в такой системе за конечное время возникает устойчивый (не прекращающийся)

скользящий режим, движение в котором за счет надлежащего выбора вектора С может быть наделено желаемыми свойствами.

Количество используемых переменных и коэффициентов в законе управления можно уменьшить. Например, можно использовать алгоритм [101]

где Sq = const > О - выбираемый при синтезе параметр алгоритма так, чтобы выполнялось условие sign(5o) = sign(Ci?). Достаточные условия возникновения и устойчивости скользящего режима при этом несколько усложняются и принимают вид

Рассмотрим теперь некоторое линейное непрерывное управление

где 7 - выбранный вектор коэффициентов (которые могут иметь и нулевые значения). Пусть п — I корень характеристического многочлена замкнутой системы (12.1), (12.11) соответствует желаемому расположению корней в скользящем режиме, а оставшийся корень принимает произвольное (вещественное) значение.

Рассмотрим также разрывное управление в СПС-регуляторе

где и+(ж), и~[х) - непрерывные функции состояния.

Можно показать [102], что условия, при которых в системе (12.1), (12.12) на всей плоскости Сж = О существуют устойчивые скользящие режимы, следуют из неравенств (12.3) и имеют вид

Поскольку ui является линейной комбинацией некоторых координат вектора состояния, то видно, что неравенства (12.13) можно выполнить, если брать и кусочно-линейным относительно тех же координат:

где Ф = [грі,...   ... ,0],

где 5о > О, а,- > — 7,-. Поэтому управление можно выбирать и в более простом виде

где

Во всех приведенных выше уравнениях СПС-регуляторов предполагается наличие информации о полном векторе состояния объекта x{t) (в первую очередь - при формировании сигнала и (ж)). Это обстоятельство суш;ественно затрудняет применение СПС на практике, так как обычно приходится работать в условиях неполной текуш;ей информации.

Одним из путей устранения этой трудности является применение наблюдаюш;их устройств (см. гл. 8. а также [3, 4, 8, 47, 102]). По при синтезе’’обычных” наблюдаюш;их устройств требуется достаточно точное знание динамических свойств объекта управления.

При использовании наблюдаюш;их устройств со скользя- ш;ими режимами, описанными в [5, 9, 21, 102] и 12.6.3. уменьшается чувствительность наблюдателей к параметрическим возмуш;ениям, что позволяет получить оценки состояния при изменении параметров объекта в широких пределах.

Более сложная (но потенциально имеюш;ая более широкие возможности) процедура, предполагаюш;ая совмеш;ение процессов оценки состояния и параметров объекта, реализуется

в адаптивных наблюдающих устройствах [2, 7, 106, 116] (см. ниже 12.6.5. с. 336).

Информация о параметрах объекта может быть получена в процессе работы на основе методов идентификации без оценки состояния. Совмещение процедуры идентификации со скользящими режимами при решении задачи адаптивного управления описано в [122].

Задача построения систем со скользящими режимами, в которых используются измерения только выходной координаты объекта рассматривается в [9, 119, 191].

В [9] рассматривается объект управления

где x{t) ETZ", u(t) £lZ, y{t) . Требуется обеспечить возникновение (за конечное время) устойчивого скользящего режима по поверхности Су = О, где с - заданный /-мерный вектор. Для достижения поставленной цели используем релейный закон управления

с некоторым 7 > 0.

Будем говорить, что передаточная функция W(s) =

A(sj

соответствует строго минимально-фазовой системе, если B(s)

- гурвицев (устойчивый) многочлен степени п — I с положительными коэффициентами [36, 106], где п = degA(s). Определение на случай векторного управления (МІМО-объект) дано в [64, 106]. На основе применения частотной теоремы с обратной связью (см. ниже, с. 321) показано, что если передаточная функция WJ^(s) от управления и к переменной а

строго минимально-фазовая, то при достаточно большом у за конечное время возникает скользящий режим и обеспечивается цель управления ИгП(_;.оо x{t) = 0. ^ Для уменьшения зависимости устойчивости системы от начальных условий и

параметров объекта в [9] предлагается алгоритм с адаптивной настройкой вектора коэффициентов усиления К :

где Г = Г^^>0,7>0 - параметры алгоритма.