1.5.1. Передаточные функции линейных систем

Рассмотрим линейную стационарную систему непрерывного времени

либо дискретную линейную стационарную систему

где жетг", уеп‘, «етг™.

Определение [3, 47, 66]. Выражение

называется передаточной функцией системы (1.23) (или (1.24)) от входа и к выходу у. □

Заметим, что W(A) является матричной функцией размера Іхпг от комплексного аргумента. В литературе по теории регулирования обычно принято для непрерывных систем аргумент передаточной функции обозначать через s или р, а для дискретных систем - через 2^ [15, 47, 66, 76, 95, 93].

Передаточные функции часто используются в различных задачах исследования динамических (в первую очередь - линейных и стационарных) систем. Применение этих функций для получения частотных характеристик будет показано в следующем параграфе. Чтобы сделать данное определение менее формальным и показать, как можно ввести передаточные функции в других ситуациях, используем для вывода выражения (1.25) преобразование Лапласа [15, 66, 76, 93, 94, 95]. Для этого при нулевых начальных условиях жо = О перейдем к изображениям по Лапласу [66]: A"(s) = £{ж(^)}, У(s) = £{y(t)j, [/(s) = £^u(t)j. Тогда при det(sl„ — Л) / О получаем

Таким образом, мы нашли матричный множитель, связывающий изображения по Лапласу входного и выходного процессов при нулевом начальном состоянии - передаточную функцию данной системы (1.25).

Для дискретных систем (1.24) аналогичный результат получается с помощью z-преобразования [76, 66].

Для строго реализуемых систем передаточная функция имеет более простой вид W(A) = С'(ЛІ„ — А) В, который обычно и будем использовать в дальнейшем.

Размер матрицы W(A) определяется размерностями входа и выхода системы. Для систем с одним входом и одним выходом, y{t) £lZ, u[t) £lZ, / = m = 1 и W(A) становится отношением многочленов от Л : W(A) = . В общем случае

получается матрица, элементами которой являются передаВ (л)

точные функции W*j(A) = . ч , f = 1,... , / , j = 1,... , ш , от каждого входа Ui к каждому выходу уі :

Остановимся на вычислительной стороне получения W(A). Наибольшую сложность представляет вычисление резольвенты R(A) = (АІ„- А)~" матрицы А. Но правилу обраш;ения матриц выполнено

где через adj(-) обозначена матрица алгебраических дополнений к (АІ„ — А) , или присоединенная [к АІ„ — А) матрица [53]. Знаменатель этого выражения есть скалярный многочлен степени п, det(AI„ — А) = А(А) = А" -Ь аіА"“^ + ЯгА""^ + hfln- Он называется характеристическим многочленом матрицы А. Таким образом, все передаточные функции W,j(A), вычисленные по формуле (1.25), имеют (с точностью до возможных сокраш;ений) одинаковые знаменатели A,j(A) = А(А). Поэтому характеристический многочлен матрицы А совпадает со знаменателем передаточной функции системы. Вид переходного процесса в системе, ее устойчивость определяются корнями А,- данного многочлена. Значения А,- называются собственными числами матрицы А. Множество собственных чисел {А,} известно как спектр данной матрицы [53]. Поэтому условие асимптотической устойчивости системы (1.23) можно сформулировать, как требование того, чтобы спектр матрицы А целиком располагался в левой полуплоскости комплексной плоскости с. Для асимптотической устойчивости дискретных систем (1.24) спектр матрицы А должен лежать внутри окружности единичного радиуса плоскости С с центром в начале координат.

Вычисление резольвенты R(A) осложняется тем, что характеристическая матрица АІ„ — Л не числовая, а функциональная - зависит от переменной А. Поэтому стандартные алгоритмы обраш;ения матриц (например, алгоритм Гаусса) здесь не применимы. Для решения этой задачи разработан ряд специальных алгоритмов: Леверье-Фаддеева, Данилевского, Сурье [47, 94], даюш;ие хороший результат при невысоком порядке системы. Для матриц высокой размерности при вычислении по этим алгоритмам происходит быстрое накопление ошибок округления, связанных с ограниченностью раз-

рядной сетки ЭВМ. Для устранения этого явления разработаны более устойчивые вычислительные алгоритмы, основанные на приведении матриц с помощью элементарных преобразований к так называемой канонической форме Хессен- берга [1, 100].

При ’’ручном” вычислении передаточной функции оказывается более удобной запись уравнений состояния в операторной форме [66] с последующим определением выходной переменной через решение систем линейных алгебраических уравнений. Рассмотрим этот метод более подробно.

Перепишем выражение для передаточной функции в виде W(A) =C'W,(A) + i^, где W,(A) =   (Заметим, что

Wj;(A) есть пхт-матричная передаточная функция к вектору состояния системы). Представим Wj;(A) и і? в виде Wj;(A) = [wi(A), W2(A),..., w„(A)], в = [bi,b2,..., b„], где Wj(A), Ъ^, j = l,2,...,m - столбцы указанных матриц Wj;(A) и В. Для Wj(A), очевидно, получаем уравнения

каждое из которых является системой п линейных уравнений относительно п неизвестных компонент вектор-функций Wj(A) = [wij(A), W2j(A),... , Wmj(A)] . Паходя решения (1.26) по формулам Крамера [3, 53, 66], получим

где А (А) = det(AI„ — А) есть главный определитель системы (1.27), совпадающий с характеристическим многочленом матрицы А, а Ау(А) есть определители, полученные заменой г-го столбца характеристической матрицы АІ„ — Л на столбец bj. Пайдя все определители, получим матричную передаточную функцию Wj;(A) к состоянию системы. После умножения на матрицу С и суммирования полученного выражения с матрицей D находим искомую передаточную функцию.

Данный прием вычислений удобен и для уравнений более общего вида, например

где Ло —пхп-матрица, detylo ф 0. При переходе к стапдартпому виду (1.23) получаем А = А^^Аі, В = А^^Ві. При вычислении передаточной функции можно этого не делать, а сразу решать уравнения

Главный определитель системы (1.29) А(Л) = det(Aylo — Аі) будет (с точностью до постоянного множителя) совпадать с характеристическим многочленом матрицы А.

Рассмотрим некоторые примеры.