12.4.1. Алгоритмы параметрической адаптации

1. Настройка коэффициентов уравнений состояния

Рассматривается обобщенный настраиваемый объект (ОНО)

где x{t) G - вектор состояния обобщенного объекта; r{t) G TZ™ - внешнее командное (задающее) воздействие; А, В - пхп- и пхт-матрицы неизвестных параметров ОНО; ДЛ, АВ - пхп- и пхт-матрицы настраиваемых параметров. Цель управления - совпадение вектора состояния ОНО x(t) с вектором состояния Xf^{t) G TZ" (явной) эталонной модели, которая задается уравнением

где Л„, В^ - пхп- и пхт-матрицы, описывающие желаемую динамику замкнутой системы (матрица Л„ гурвицева).

Алгоритмы адаптивного управления для решения поставленной задачи получены в ряде известных публикаций по теории беспоисковых самонастраивающихся систем с эталонной моделью [вене с ЭМ) [41, 42, 74, 75]. Покажем, как выводится алгоритм адаптации по методу скоростного градиента [9, 103, 106].

Д 1 т

Для этого введем целевой функционал Qt = 2^(0   ВД®

e[t) = x{t) — Xfj[t) - вектор ошибки; Р = > О - некоторая пхп-матрица, выбор которой будет описан ниже. Вычислим си(х, Ѳ, t)=Qt = e{t)"P{{A + AA)x{t) + {В + AB)r{t) - A^x^{t) + +B,^r{t)). ^ Тогда

Алгоритм скоростного градиента в дифференциальной форме (А. 14) в данном случае имеет вид

Проверка работоспособности алгоритма производится исходя из указанных выше условий (при ф{х,Ѳ,і) = 0). Условие выпуклости выполнено в силу линейности ОНО (линейности правой части (12.25) по Ѳ). Условие достижимости также, очевидно, выполнено при 0* = со1{Л„ — А,В^ — В}. Матрица

Р = Р^ > о должна удовлетворять уравнению Ляпунова

+ Aj^jP = —G для некоторой G = G >0. Действительно, тогда существует некоторое «о > О такое что

Условие роста выполнено для ограниченного  т.е. для

ограниченного командного сигнала r{t).

При влиянии возмущений может возникнуть неограниченный рост значений параметров регулятора. Для его предотвращения целесообразно использовать регуляризованный алгоритм адаптации [9, 103, 106]. Регуляризованный АСГ с функцией 1;{Ѳ) вида 1;{Ѳ) = а{Ѳ — Ѳ) выглядит как

где АА,АВ - некоторые априорные оценки настраиваемых параметров (подробнее см. в [64]).

Скорость настройки параметров можно увеличить, если использовать АСГ в конечно-дифференциальной форме (А.6), (А.8), которая дает следующие пропорционально-дифференциальные алгоритмы адаптации

Можно убедиться, что алгоритмы адаптации (12.28), (12.30) обладают идентифицирующими свойствами, т.е. A+AA[t)^

—>■ В + AB{t) —>■ при t ^ оо, если вектор-функция со1{ж„(^), r{t)} обладает достаточным разнообразием, т.е. модель (12.26) достаточно полно возбуждается входным сигналом (например, r{t) содержит не менее п различных по частоте гармоник, а модель полностью управляемая).

2. Настройка коэффициентов регулятора

Пусть уравнения объекта имеют вид

где x{t) G - вектор состояния, u{t) G TZ™ - управляющее воздействие. Через r{t) ETZ™ по-прежнему обозначим командное (задающее) воздействие.

Снова возьмем целевую функцию в виде Qt = Ре, в =

= e{t) = x{t) — Хм{і), Р = Р^ > О, где ж„(^) - вектор состояния эталонной модели (12.26). Пользуясь схемой скоростного градиента, получаем

Пусть для любых X, Xf^ £TZ", r£TZ™ уравнение

разрешимо относительно и* ETZ™. Тогда удовлетворяет

соотношению

Здесь к: = В+В^, к: = В+{А^ - А), т.е. А^ - А С С{В), В^ С J^{B), где £-{В) - линейное подпространство, порожденное столбцами матрицы В. Это в свою очередь эквивалентно соотношению

Условия (12.35) называются условиями Эрцбергера , условиями адаптируемости, совместимости или точного соответствия модели”.

При выполнении этих условий существуют матрица Р =

= Р > О и вектор-функция и*(f) такие, что о;(ж,0,^) <—е(^) Ge{t) < < —ct(Qt, т.е. условие достижимости (А. 10) выполнено при p{Qt) = c^oQt- Матрица Р может быть найдена из решения уравнения Ляпунова

Возьмем в качестве вектора настраиваемых параметров Ѳ = со1{К^, Кг}. Скоростной градиент получается в виде

Тогда АСГ в дифференциальной форме записывается как [41, 75]

Алгоритмы вида (12.37) были получены в работах [38, 41, 75].

Известны результаты, согласно которым число производных от выхода объекта с передаточной функцией W(s) =

A(sj

используемых в алгоритме управления, можно снизить до п — к — 1, где к = degB(s). Ири этом требуется минимально- фазовость объекта, т.е. гурвицевость полинома B{s) (по этому поводу см. также п. 12.1. утверждение относительно передаточной функции (12.18) на с. 304).

Кроме того, начиная с 70-х годов появилось большое число публикаций, посвяш;енных задаче адаптивного управления без измерения производных от выхода [39, 64, 69]. В 12.6.5. кратко описывается применение для этой цели адаптивных наблюдаюш;их устройств. Другой подход, основанный на методах неявной эталонной модели и шунтирования, представлен в п. 12.7.