12.5.1. Алгоритмы параметрической адаптации

Рассмотрим уравнения обобщенного настраиваемого объекта в виде

где X G TZ", и £ TZ, у  K(t) £ TZ‘ - вектор настраиваемых

параметров регулятора.

Используем целевой функционал Qt = ^x{t)^Px{t), где Р = = Р >0. Применим метод скоростного градиента. Получим, что

Так как выражение x{t)^РBy(t) должно зависеть только от измеряемых переменных (иначе неизмеряемые переменные войдут в закон управления), получаем условие РВ = С д для некоторого /-мерного вектора д. Предполагая это условие выполненным, запишем АСГ в виде [36]

где матрица коэффициентов усиления Г = Г’^ > 0.

Для проверки работоспособности алгоритма следует установить только выполнение условия разрешимости (А. 10). Оно удовлетворяется, если существует вектор А'* такой, что X РА^,х < О, где А^, = А + ВК^^ С. Таким образом, должны

Т

существовать матрица Р = Р > О и вектор А'* такой, что

Решение этой задачи дает следующая теорема {частотная теорема с обратной связью или теорема о пассификации) [64, 104, 106].

Т

Теорема. Для существования матрицы Р = Р > О и вектора А'*, удовлетворяющих (12.44), необходимо и достаточно, чтобы функция д W(s) была строго-минимально-фазовой.

Здесь W{s) = С (sl„ — л) ^В - передаточная функция объекта управления.

Таким образом, при выполнении указанного условия на д W(s), обеспечивается выполнение цели управления x[t) —>■

О, K[t) —>■ const при t —>■ оо.

При практическом использовании алгоритма (12.43) существенно, что в процессе адаптации величина a{t) затухает достаточно быстро (обычно быстрее, чем переходный процесс в системе). Полагая a{t) = О, мы можем интерпретировать уравнение д y[t) = О как некоторое ”эталонное уравнение”, которое задает желаемую динамику замкнутой системы Описанный подход можно распространить и на системы слежения за задающим воздействием r[t) [7, 103]. В [120] описан адаптивный пропорционально-интегральный {ПИ) регулятор с неявной эталонной моделью для решения задачи слежения.