1.5.3. Примеры перехода к передаточным функциям от уравнений состояния

Пример 1. Электрические цепи. Вернемся к рассмотренным в п. 1.4.1. с. 25, уравнениям КГС-цепей. Пепосредственным вычислением получаем, что уравнениям (1.12) при y(t) = x[t) (выход - напряжение на емкости) соответствует

передаточная функция W(s) = -Ь    тр = Дан

ная цепь является апериодическим звеном первого порядка [15, 76] ( или фильтром нижних частот). Когда выходом системы является напряжение «д(^) на зажимах резистора, по-

гр

лучаем W(s) = ^ ^ дифференцируюш;ее звено с замедлением.

Для колебательного контура (1.13), с. 26, система (1.26) имеет вид

откуда

где S Е С, Wi(s), W2(s) - передаточные функции к неремеппным Хі,Х2- Пз (1.30) находим A(s) = TCs^ -Ь RCs -Ь 1, Ai(s) = Cs, A2(s) = 1, поэтому

Учитывая уравнение выхода в (1.13), получаем передаточную функцию

= r‘s‘ + 4TS + 1 ■ T=VuS. к = LC = T\(= f Данная передаточная функция соответствует комбинации двойного дифференцирующего звена и колебательного (при ^ < 1) или апериодического второго порядка [15, 76] (при ^ > 1) звеньев. В качестве частотно-избирательного фильтра оно является фильтром верхних частот (ВЧ-фильтром).

Отметим, что в рассмотренных случаях размерность пространства состояний системы совпадает со степенью знаменателя передаточной функции. Кроме того, у строго реализуемых систем степень числителя передаточной функции ниже степени знаменателя. При D ф О они совпадают. Данная зависимость имеет общий характер и будет наблюдаться в дальнейшем.

В последующих примерах для вычисления передаточных функций будем использовать соотношения (1.28), (1.29).

Пример 2. Двигатель постоянного тока. Рассмотрим модель двигателя постоянного тока (1.14), с.26. Уравнения (1.29) принимают вид

а также

Здесь Wj k{s), j G {a,i,u>}, к G {e, М} являются передаточными функциями от входов e{t), M[t) к переменным состояния a[t), i{t), ш{і). Поскольку в данном примере выходом считается вектор    i{t)] , нас будут интересовать четыре передаточные функции: Wa_e(s), w,_e(s), w,_m(s). Пай- дем определители A(s) = s(JLs^ + JRs + С^См), A(s)a,e = См, A(s)a,M = — (Ls + R), A(s),'_e = A(s)i_e = C'eS, откуда получим матричную передаточную функцию системы (1.14):

Заметим, что в данном примере сумма степеней знаменателей передаточных функций (даже с учетом сокращения ну-

лей и полюсов) равна десяти, в то время как система описывается уравнениями состояния третьего порядка. Можно сделать вывод, что для многосвязных систем (систем, имеющих несколько входов и выходов) уравнения состояния могут привести к реализации меньшего порядка, чем совокупность передаточных функций.

Как видно из полученных выражений, рассматриваемый объект демонстрирует разнообразное поведение в зависимости от того, на какой вход поступает воздействие и какая выходная переменная определяется. По углу вращения ротора двигатель является звеном интегрирующего типа в сочетании с апериодическим звеном второго порядка или с колебательным звеном - в зависимости от соотношения параметров. Если JR^ > АЬС'еС'м, то процесс имеет апериодический, иначе - колебательный, характер. По якорному току двигатель является звеном дифференцирующего типа (от напряжения источника) либо позиционным звеном (от момента нагрузки). Пнерционность токовой цепи имеет тоже апериодический либо колебательный характер. В качестве иллюстрации на рис. 1.8 приведены графики переходных характеристик для передаточной функции (1.31).

Пример 3. Летательные аппараты. Обратимся теперь к уравнениям движения летательных аппаратов. Рассмотрим сначала угловое движение искусственного спутника, описанное в п. 1.4.2. с. 27. Уравнения ПСЗ (1.15) в форме (1.29), имеют вид

Отсюда получим

т.е. рассматриваемая система представляет собой двойное интегрирующее звено.

Более сложной задачей является получение передаточных функций летательного аппарата с. 28, заданного уравнениями (1.16) (в линеаризованном виде - уравнениями состояния с матрицами (1.17)).

Данная система описывается матричной передаточной функцией шестого порядка. Рассмотрим упрош;енную модель пониженного порядка, в которой не учитываются некоторые переменные состояния, входы и выходы системы.

Как известно, в динамике ЛА можно выделить следуюш;ие процессы, отличаюш;иеся темпом (скоростью протекания) [19, 23, 98]:

-    изменение земной скорости V{t)]

-    изменение положения центра масс x{t), H{t)]

-    изменение углового положения координатных осей ЛА относительно центра масс: Ѳ{і), 'd{t), C0z{t).

Наиболее быстро протекают процессы изменения угловых координат, поэтому при исследовании этих процессов можно (приближенно) пренебрегать изменением скорости и высоты полета ЛА. Ниже рассмотрим модель изолированного углового движения, которая получается исключением уравнений для V, X, Н из (1.16) и линеаризации. Опуская символ А в обозначениях отклонений от опорной траектории, запишем линеаризованные уравнения в виде [23]

Нри рассмотрении углового движения часто можно пренебрегать (ввиду малости) коэффициентом характеризую-

щим влияние изменения проекции силы тяжести, а также коэффициентом подъемной силы рулей Кроме того, учтем соотношение Ѳ{і) = i3{t) — a{t), справедливое для изолированного продольного движения без крена [19, 23, 98]. Уравнения (1.33) тогда примут вид

Учитывая, что последнее уравнение можно учитывать отдельно, получим, что уравнения (1.29) для данного объекта имеют вид

Отсюда определяем передаточные функции ЛА по угловой скорости тангажа и углу атаки от отклонения рулей высоты:

С учетом последнего уравнения в (1.34) передаточная функция по углу тангажа W^“(s) =   (s).

В зависимости от соотношения коэффициентов динамика углового движения ЛА обычно имеет колебательный либо неустойчивый (апериодический) характер. Основную роль здесь играет знак коэффициента а“^. При > О собственные движения представляют собой затухаюш;ие колебания, в противном случае - расходяш;ийся процесс.

Для получения передаточной функции непосредственно по выражению (1.25) можно использовать средства символьных вычислений пакета MATLAB-5 [82]. Папример, определение передаточных функций Wf,“ (s) и Wf“(s) по уравнениям (1.33) можно выполнить с помош;ью следуюш;ей программы.

Программа определения передаточной функции по уравнениям состояния

syms a_alpha_y a_delta_y a_alpha_m a_omega_m syms a_delta_m a_thet_y s al thet om del

-    описание символьных переменных;

I=eye(3,3); - единичная матрица; A=[-a_thet_y+a_alpha_y, О ,-a_alpha_y;...

a_alpha_m, -a_omega_m, -a_alpha_m;...

0 10];

B = [a_delta_y; -a_delta_m; 0];

C = [0, 1, 0; -1, 0, 1];

-    формирование матриц A, В, С уравнений (1.33); W=C*inv(s*I-A)*B

-    вычисление матричной передаточной функции; [num,den]=numden(W);

-    выделение числителя и знаменателя передаточной функции;

llnl=collect(num); dl=collect(den);

-    приведение подобных членов в числителе и знаменателе.

В результате вычислений получаются следующие выражения для передаточных функций Wf,® (s) и Wf“(s)

где

После выполнения упрощающей подстановки а® = О, =0 с помощью операторов

n2=subs(nl,[a_thet_y,a_delta_y],[0 0]) d2=subs(dl,[a_thet_y,a_delta_y],[0 0]) получаем записанные ранее выражения (1.36).

Пример 4. Механические конструкции. Пайдем передаточные функции амортизированного транспортного средства от высоты поверхности к вертикальному перемещению

корпуса и к расстоянию от оси подвески колеса до поверхности (см. пример 2 п. 1.4.3. с. 32). Уравнения состояния с матрицами (1.19) приводят к следующим соотношениям:

Исключая W2(s), W4(s), приходим к системе

Из (1.37) следует: A(s) = (mis^ -Ь ki){m2s‘^ + ki + /^2) — к\ = = mim2S^ -Ь {кігпі + кіШ2 + к2ГПі)з'^ + ^1^2, ^і(^) = ^1^2, Дз(в) = k2{rriis'^ + кі). Учитывая выражение для выхода (согласно (1.19)), получим передаточные функции Wi(s) =

(к hi{t)) и W2(s) = (к h2(t) - Ьз(і)). Нетруд

но проверить, что характеристический многочлен A(s) имеет чисто мнимые корни S12 =   «3,4 = ^J‘^2, Ф ‘^2- Следо

вательно, данная система может рассматриваться, как соединение двух консервативных звеньев. Нолученный результат справедлив, если трение пренебрежимо мало.

Рассмотрим теперь приведенную в п. 1.20 на с. 30 линеаризованную модель трехстепенного гироскопа (1.20). В соответствии с этой моделью, после исключения вспомогательных переменных получаем уравнения

откуда находим следующие передаточные функции:

где v4(s) = Jв Jc~\~{Jві^-с + JcHb)s+i^bHc +

cos^/?о• Таким образом, данную систему можно представить в виде сочетания интегрирующего и колебательного

звеньев с постоянной времении ко

эффициентом демпфирования

Частота собственных нутационных колебаний [91] Кі Т~^. Заметим, что из  = О следует ^ = 0. Тогда колеба

тельное звено становится консервативным и нутации не затухают. Присущее гироскопу свойство интегрирования приложенных к рамкам моментов соответствует явлению прецессии [91].

Пример 5. Дискретные системы.Для ’’дискретного интегратора” (сумматора), реализующего рекуррентный алгоритм х[к + 1] = х[к] + и[к], у[к] = х[к], передаточная функция имеет вид \Ѵ(г^) = ^ в чем нетрудно убедиться непосредственным применением формулы (1.25). При у[к] = х[к] -Ьи[А;] получаем \Ѵ(г^) = Y~zr\- В системах реального времени при

интегрировании следует учитывать интервал квантования Tq.

Т

Тогда получим, соответственно, \Ѵ(г^) = ^ \ либо \Ѵ(г^) =

T()Z z - I'

Рассмотрим теперь пример ” сглаживающего устройства”

- нерекурсивного цифрового фильтра (1.22), с. 33, реализующего алгоритм вычисления скользящего среднего.

Пз (1.22) получаем систему уравнений для передаточных функций W,' :

откуда Wi{z) = z~\ i = 1,... ,4. Учитывая уравнение выхода в (1.22), получим передаточную функцию фильтра

Обратимся теперь к использованию передаточных функций для получения частотных характеристик систем.

Одной из причин, обусловивших широкое использование передаточных функций, является их связь с частотными характеристиками. Рассмотрим отдельно непрерывные и дискретные системы.