12.7.1. Постановка задачи

Рассмотрим линейный стационарный объект управления со скалярным управлением и выходом, уравнения состояния которого имеют вид

где Xp{t) G u{t) Е TZ , Ур{і) G TZ. Передаточная функция объекта (12.71) имеет вид

где S Е С - аргумент, degA(s) = n,degB(s) = т,к = п — т - относительный порядок объекта. Полагаем, что Wp(0) > 0,А; > 1.

Рассмотрим задачу адаптивного управления объектом при суш;ественной априорной неопределенности его параметров. Кроме того, считаем, что измерению доступен только выход y{t) (а не его производные). Пусть требуется, чтобы поведение замкнутой системы отвечало следуюш;ему уравнению (см. также [74, 124])

где r{t) - задаюш;ее (командное) воздействие, р - оператор дифференцирования (р = ^); A„(s) - произвольный заданный

гурвицев многочлен степени п; К = Уравнение (12.73)

соответствует рассмотренной ранее неявной эталонной модели [104, 120] и приводит к менее жестким ограничениям на поведение системы, чем явная эталонная модель. Параметр К вводится для обеспечения астатизма системы.

Для достижения цели (12.73) обеспечим точное слежение за преобразованным командным сигналом yf{t), который вырабатывается настраиваемым пре-фильтром, уравнения которого приводятся ниже. Эта задача может быть решена путем организации движения в скользяш;ем режиме [102]. Можно показать, что условие строгой минимально-фазовости (см.

[103, 104] и 12.1. сноску на с. 304) достаточно как для обеспечения скользящего режима, так и для решения задачи прямого адаптивного управления с эталонной моделью. В данной задаче выполнение этого условия не предполагается. Возникающих при этом трудностей можно избежать введением параллельного компенсатора {” шунта”, см. [123, 164, 177] ), что позволяет обеспечить выполнение указанного условия для расширенного объекта, включающего собственно объект управления и шунт.

Обозначим передаточную функцию шунта через

Выход расширенного объекта y{t) = Ур{і)+ Ус{і)- Передаточная функция расширенного объекта от и к у имеет вид

где F(s) = A(s)B'(s)-bA'(s)B(s) . Для обеспечения слежения за r[t) с заданной динамикой заметим, что выход расширенного объекта y[t) не совпадает с выходом объекта управления Ур{і) и идеальное слежение of y[t) за у/{і) не означает того же самого для Ур{і). Отсюда определяются условия для выбора пре-фильтра. Получим передаточную функцию Wr{s) от r{t) к Ур{і), предполагая, что y{t) = yf{t). Учитывая (12.74) и уравнение шунта получим, что

где Wf{s) - передаточная функция пре-фильтра. Пз (12.73), (12.75) следует что цель управления будет достигнута, если y{t) = yf{t) и если Wf{s) взять в виде

где К — где Л -

Заметим, что (12.76) в неадаптивном случае описывает фильтр с постоянными параметрами. При неопределенности

параметров объекта вместо (12.76) следует использовать настраиваемый пре-фильтр, задаваемый уравнениями

где Xf(t) G ; ^{t) Е TZ^ - вектор настраиваемых параметров: Q{t) = ■ ■ ■ , t^iv(0] , N = п+п'. Матрицы запишем в канонической форме фазовой переменной (УКП, с. 74). Номинальное значение Q{t) = П* зависит от параметров объекта и должно удовлетворять (12.76) для передаточной функции Wf{s) = {si — В выбранном каноническом базисе выполнено F{s) = * • Отсюда получаем систему линейных уравнений для номинальных значений: , і = I,... , N

Эти значения зависят от неизвестных параметров объекта, оценки которых могут быть получены с помош;ью алгоритма адаптивной идентификации, описанного в 12.7.2.

Для выбора шунта введем следуюш;ую передаточную функцию [107]:

Ниже сформулированы свойства расширенного объекта (12.74) с шунтом (12.79) [107].

1.   Пусть Wp{s) (12.72) - минимально-фазовая (B(s) - гурвицев многочлен), имеет относительный порядок А; > 1

и ѴКр(О) > 0. Тогда суш;ествуют параметр Kq > О и функция £о{к) > О такая, что передаточная функция W(s) = Wp{s) + Wc{s) - строго минимально-фазовая (СМФ) для всех к > Kq и О < е < £о(ко)-

2.   Пусть Wp{s) - устойчивая (A(s) - гурвицев многочлен), имеет относительный порядок А; > 1 и ѴКр(О) > 0. Тогда для любого е > О суш;ествует достаточно большое значение Ко такое, что W{s) = Wp{s) + Wc{s) - СМФ для всех к > Kq.

Таким образом, можно ввести шунт (12.79) порядка

deg(As(s)) = k — l=n—m — I, который при достаточно большом к и малом е обеспечивает условие СМФ для расширенного объекта (12.74) при любом минимально-фазовом объекте управления и произвольной заданной области параметров. Как следует из утверждения 2, при другом способе выбора параметров шунта (12.79), условие СМФ выполняется для устойчивых (и, возможно, неминимально-фазовых) объектов.

В этом случае уравнение шунта можно упростить; именно вместо (12.79) можно взять Wc{s) = ^ д .

Предположим теперь, что шунт (12.79) выбран надлежа- ш;им образом и расширенный объект (12.74) удовлетворяет условию СМФ. Перепишем уравнения расширенного объекта в следуюш;ей канонической форме [102, 189]:

где Xi{t) G TZ^~^, X2{t) ETZ ш y{t) = CiXi{t) + C2X2{t) - измеряемый выход, C26 > 0; Ац, xAi2, A21, A22, b - неизвестные параметры, С = [ci, С2] .

Таким образом, в рассматриваемой задаче требуется найти управляюш;ее воздействие u[t) и закон настройки Q(t) в (12.77) такой, что для любого данного значения относительного порядка k объекта управления, его выход асимптотически удовлетворяет (12.73).

Задача может быть решена в два этапа. Первый этап состоит в разработке алгоритма идентификации параметров и обеспечении их сходимости к истинным значениям.

Второй этап состоит в выборе управления u(t), обеспечи- ваюш;его сходимость (т(і) = y[t) — уf[t) к нулю за конечное время.