1.6.1. Частотные характеристики непрерывных систем

Рассмотрим стационарную систему (1.23). Пусть u{t) = йе‘°*, где постоянные uETZ™, Sq G С. Будем искать решение (1.23) в виде x{t) =  где ж G С" - подлежаш;ая определению кон

станта. Подстановка выражений для u{t), x[t) в (1.23) дает 8охе‘°* = Ахе‘°* + Вйе‘°*, (sqI - А)хе‘’°* = Вйе‘°*, (sqI - А)х = Вй. Полагаем, что имеет место нерезонансный случай: Sq не совпадает ни с одним собственным числом матрицы А и поэтому det(soI — А) /0. Отсюда находим, что х = (sqI — А)~^Вй и, следовательно, выполнено равенство

Прежде чем использовать полученное выражение, исследуем единственность найденного решения. Пусть функция x{t) также удовлетворяет (1.23). Подстановкой x{t) = x{t) + Ax{t) в (1.23) непосредственно убеждаемся, что Ax{t) удовлетворяет однородному уравнению, получаюш;емуся из (1.23) при u{t) = 0. Следовательно, любое решение (1.23) можно представить в виде суммы вынужденной (1.39) и переходной составляюш;их. Поэтому найденное решение единственно с точностью до переходной составляюш;ей Ax{t). При асимптотической устойчивости системы Ax{t) —>■ О при ^ оо и каждое решение стремится к вынужденному процессу (1.39).

Подставим теперь полученное выражение для x{t) в уравнение выхода (1.23): y{t) = Cx[t) + Du[t) = C{sol — А)~^ Вйе‘’°* + Due^°* = {C{sol - A)-^B + D)ue^°* = W(so)we^°‘ = W{so)u{t). Таким образом, передаточная функция является множителем (в обш;ем случае - комплексным), связываюш;им вынужденную составляюш;ую выходного процесса системы со входным сигналом экспоненциального вида. Это свойство позволяет найти и реакцию системы на гармонический входной сигнал, т.е. частотные характеристики системы.

Пусть входной процесс имеет вид гармонических колебаний u(t) = й cos Lot =     где ш - вещественная константа, частота колебаний, f = —1. Используя полученную выше формулу при Sq = ±jo; и очевидное свойство суперпозиции решений линейных систем, получим

Определение. Выражение W(jui) ETZ,f = —1) называется частотной передаточной функцией или частотной характеристикой непрерывной системы (1.23). □

Каждый элемент Wy(jo;) матричной функции W(jo;) можно представить в виде

где А(ш) = |W(jo;)| - амплитудно-частотная характеристика

{АФХу,

<~p{uj) = argW(jo;) - фазо-частотная характеристика (ФЧХ)-,

ин = ReW(jo;), Ѵ{ш) = ImW(jo;) - вещественная и мнимая частотные характеристики {ВЧХ, МЧХ).

Годогаф W{ju>) на комплексной плоскости при и> G [о;о, (обычно берут о;о = О, о;і = оо ) называется амплитуднофазовой характеристикой [АФХ), или кривой Найквиста. Часто используется и диаграмма Боде {логарифмическая амплитудная характеристика, ЛАХ), которая определяется как = 201gyl(a;), измеряется в децибелах и строится в функции от lg(o;).

Поскольку W(Л) - рациональная функция с вещественными коэффициентами, выполнено U{—lu) = U{lu), V{—lu) = т.е. W(-jw) = conj(W(jw)), A{-u>) = A{u>), ^{-ш) =

При вычислении фазо-частотной характеристики учитывается, что при U{uj) ф 0. Но функция arctg(-)

принимает значения в интервале — ^ , поэтому при ее использовании ір{си) будет иметь нежелательные разрывы. Пз соображений непрерывности целесообразно предварительно разлагать числитель и знаменатель W{ju>) на множители не

более второго порядка (что всегда возможно)

и вычислять ір{ш) = где знак ” + ” относится к

і = 1,2,... , / (числителю передаточной функции), а знак ” — ” -кг=/+1,г+2,...,і> (знаменателю передаточной функции). Каждое из слагаемых ірі{си) определяется выражением

Чтобы прояснить смысл частотных характеристик, рассмотрим при указанном входе реакцию (вынужденную составляющую) г-й компоненты вектор-функции y{t) на j-ю компоненту вектора Uj{t). Используя выражение (1.40), получим

где уі = A{u>)uj- амплитуда выходного процесса (точнее - его вынужденной составляющей), а f - ’’фазовый сдвиг”

между входным и выходным процессами. Таким образом, зная передаточную функцию системы, нетрудно определить ее реакцию на гармоническое воздействие (или суперпозицию таких воздействий).

Обратимся теперь к системам дискретного времени.