12.8. Задачи и упражнения

1. а) Доказать, что в системе (12.16), (12.17) (с. 304), при достаточно большом 7 > О возникнет за конечное время сколь- зяш;ий режим, и будет достигнуто целевое условие ИгП(_;.оо = О, если передаточная функция WJ^(s) строго минимально фазовая.

Указание. Рассмотреть функцию Ляпунова вида Ѵ(х) = X Рх, Р = Р > О и показать, что на множестве начальных условий По = {ж : Ѵ(х) < Vq} (воспользоваться частотной теоремой с обратной связью, с. 321).

б) Доказать аналогичное утверждение для системы (12.19). Указание. Рассмотреть функцию Ляпунова вида

для некоторых K^,eTZ\ Р = Р^ > 0.

2.   Рассмотреть полином п-й степени -Рг(А) = еА„{Х) +

где degyl„(A) = п, degB„_i{\) = п - 1, В„_і{0) > 0. Доказать, что если е —>■ О, то п — 1 корней полинома -Рг(А) стремятся к корням полинома В„_і{\), а оставшийся корень стремится к — оо.

3.   Методы управления по измерениям выхода на основе СНС (п. 12.1) и адаптивных систем с неявной эталонной моделью (п. 12.5) распространяются на неминимально-фазовые объекты [103]. Это достигается применением их к расширенному объекту, полученному присоединением к входу цепочки интеграторов, выходы которых используются в законе управления.

а)   Выписать уравнения синтезированных таким образом систем.

б)   Пользуясь теоремой п. 12.5.1, получить условия применимости синтезированных систем.

4.   Исследовать динамику систем управления по выходу, описанных в п.п. 12.1 и 12.5 компьютерным моделированием в условиях возмущений. Рассмотреть возмущения, действующие на вход (входные возмущения), на выход (помехи измерений), или действующие совместно (комбинированные). Для задания возмущающего сигнала использовать MATLAB- функцию rand, генерирующую равномерно распределенные псевдослучайные числа.

5.   Выполнить задания предыдущей задачи для адаптивной системы 12.5.1, в которой алгоритм адаптации (12.43) заменен регуляризованным алгоритмом

где Г = > О - матрица коэффициентов усиления, К - априорная оценка вектора ’’идеальных” коэффициентов регулятора, а > О - коэффициент регуляризации (огрубления).

Как зависит установившаяся ошибка системы от уровня возмущений и от параметров регулятора а Д ?