13.1. Задачи управления нелинейными колебаниями

В современных технических системах важную роль играют колебательные (т.е. обладающие той или иной степенью повторяемости) процессы. Колебательные режимы могут выступать не только как нежелательные, вредные режимы, но и в качестве основных, полезных режимов функционирования. В первом случае при разработке системы требуется подавлять нежелательные колебания, во втором - обеспечить поддержание заданного колебательного режима. Первый тип задач характерен для систем виброизоляции, подавления электрических и акустических помех, подавления упругих колебаний и вибраций в приборах, инструментах и другом оборудовании [27]. Задачи второго типа встречаются: при разработке вибрационного оборудования и вибрационных технологий [27]; различных машин и механизмов, рабочий орган которых совершает возвратно-поступательное или возвратно- враш;ательное движение [58], генераторов электрических или акустических колебаний и так далее.

Поскольку условия работы реальных систем и устройств всегда отличаются от расчетных, важным является вопрос о сохранении работоспособности системы при изменении условий ее работы, т.е. об устойчивости работы системы. Теоретическому анализу суш;ествования и устойчивости колебаний посвяш;ена обширная литература (см. напр., [45, 11, 24, 55, 84]. Однако часто оказывается, что сама по себе система не обладает нужной степенью устойчивости и для ее нормальной работы необходимо прилагать дополнительные воздействия, т.е. вводить управление. В этих случаях возникают задачи синтеза, или управления колебаниями.

В конце XX в. возрос интерес к задачам управления нелинейными колебаниями в связи с появлением новых лазерных, химических, информационных технологий, сталкиваюш;ихся с нерегулярными, хаотическими колебаниями. Анализ материалов крупнейших мировых научных конференций показывает, что в начале XXI в. интерес к данной тематике будет продолжать расти. В настояш;ей главе рассмотрены некоторые результаты по управлению нелинейными колебатель-

ными системами, полученные в лаборатории ’’Управление сложными системами” Института проблем машиноведения РАН и опубликованные в 1994-1999 гг. [72, 128, 145, 150, 153].

Классификацию задач управления колебаниями можно проводить исходя из целей управления.

1.   Регулирование (стабилизация). Подобные цели ставятся при подавлении шумов, вибраций различных конструкций, устранении нежелательных гармоник в системах связи, электронике и т.п. Этим вопросам посвяш;ена обширная литература, в основном используюш;ая методы линейной теории управления [27, 76, 155]. Особенность этих задач заключается в том, что объект управления является сильно колебательным, т.е. собственные числа матрицы линеаризованной системы близки к мнимой оси. Приведем, следуя [27], примеры приложений, в которых встречается задача подавления колебаний.

Витые пружины, нагруженные внешними периодическими силами, широко применяются в машинах в качестве основных силовых и вспомогательных элементов. Вредные, непредусмотренные вибрации пружин или потеря ими динамической устойчивости приводит к появлению паразитных колебаний рабочего органа машины, нарушению силового замыкания между отдельными ее звеньями и, как следствие - к уменьшению надежности машины, вплоть до ее аварийного выхода из строя.

В инженерной практике широко распространены конструкции, элементы которых имеют полости или отсеки, содержа- ш;ие жидкость (например, объекты авиационной и космической техники, танкеры и плавучие топливозаправочные станции). Взаимное влияние отсека и жидкости при ее волновых движениях может сильно изменить степень устойчивости системы, а иногда порождать неустойчивость. Как пример можно указать резкое ухудшение остойчивости корабля при наличии ’’жидких” грузов и динамическую неустойчивость автоматически управляемых ракет-носителей и космических аппаратов с жидкостным ракетным двигателем при неправильном выборе структуры или параметров автомата стабилизации [19, 98].

Вибрации в металлорежуш;их станках снижают точность и качество обрабатываемых поверхностей, а также долговеч-

ность инструмента и элементов конструкции.

2.   Слежение (программное управление). Во многих прикладных задачах требуется, чтобы выход объекта управления (ОУ) отслеживал некоторую заданную (программную) траекторию при наличии паразитных внутренних или внешних колебаний. Примерами являются задачи управления летательными аппаратами, роботами с учетом упругости конструкции (упругость является источником колебаний, препятствующих решению задачи). Во многих случаях требуется учитывать нелинейность моделей движения, например

в задачах ориентации космических аппаратов, перемеш;ения грузов на длинном тросе мостовыми кранами.

Решению подобных задач посвяш;ен целый ряд работ, в которых развиты методы модального, оптимального и адаптивного управления [21, 22, 96, 48, 98, 111].

Перечисленные выше цели (регулирование и слежение) традиционны для теории и практики автоматического управления. Однако для задач управления колебаниями характерны также специфические цели.

3.   Возбуждение (раскачка, раскрутка, разгон) колебаний. Цели этого класса возникают при управлении пусковыми режимами колебательных технических систем. Предполагается, что первоначально система находится в состоянии покоя и необходимо привести ее в колебательное движение с заданными характеристиками, причем траектория, по которой должен двигаться фазовый вектор системы, заранее не задана, неизвестна или не имеет значения для достижения цели.

Папример, к возбуждению колебаний относится задача запуска вибрационной установки. Промышленные установки содержат один или несколько вибраторов - несбалансированных роторов с центром масс, смеш;енным относительно оси враш;ения. Каждый вибратор должен враш;аться с большой угловой скоростью, вызывая вибрацию основания установки. При запуске требуемая мош;ность привода должна быть больше, чем в стационарном режиме, так как необходимо преодолевать силу тяжести. Представляет интерес возможность выбора управляюш;его момента привода в зависимости от положения ротора, т.е. в виде обратной связи, так, чтобы снизить требуемую мош;ность двигателя. В технических

системах применяются также вибраторы не вращательного, а возвратно-ностунательного тина.

4.   Синхронизация. Под синхронизацией явлений или процессов понимается согласованное во времени их протекание. Синхронизация имеет важные применения в вибрационной технике (синхронизация вибровозбудителей [16, 27]), в технике связи (синхронизация сигналов приемника и передатчика) [57, 114], в биологии и биотехнологиях и так далее. В 90-х годах появилось большое число публикаций посвященных управлению синхронизацией хаотических процессов и ее применению в системах передачи информации [181, 136, 156]. Хотя условия синхронизации неуправляемых нелинейных систем (самосинхронизации) детально изучены [56, 57, 27], методы управления синхронизацией остаются малоизученными. Частный случай синхронизации (координирования) двух систем с однонаправленным взаимодействием может быть рассмотрен как стандартная задача управления с эталонной моделью, если интерпретировать ведущую систему как генератор ’’эталонного”, или ’’программного”, движения (сигнала). Общая задача управления синхронизацией двух или нескольких взаимосвязанных подсистем более сложна [63, 64]. Подход к управлению синхронизацией на основе понятия пассивности нелинейных систем предложен в работе [142] и развит в работах [153, 176, 182]. Общее определение синхронизации, охватывающее задачи как управляемой синхронизации, так и самосинхронизации, представлено в [128].

Общей особенностью задач управления возбуждением и синхронизацией колебаний является то, что желаемое поведение однозначно не фиксировано, а его характеристики задаются лишь частично. Папример, в задаче возбуждения колебаний могут быть заданы требования лишь на амплитуду колебаний, а частота и форма могут меняться в определенных границах. В задачах синхронизации часто основным требованием является совпадение или согласованность колебаний всех подсистем, а характеристики движения каждой подсистемы могут варьироваться в широких пределах.

Удобным математическим выражением цели управления в подобных задачах является задание значений одного или нескольких числовых показателей. В задаче возбуждения колебаний в качестве такого показателя может выступать, напри

мер, энергия системы. Формальным выражением синхронного движения двух подсистем с векторами состояния Хі G і?" и Ж2 G і?" может быть полное или частичное совпадение векторов состояния, например, равенство

Равенство (13.1) выделяет в объединенном пространстве состояний взаимодействующих подсистем некоторое подпространство (диагональ). Таким образом, можно сделать вывод, что в задачах управления колебаниями целевыми множествами являются не точки и не одномерные кривые, а многообразия более высокой размерности.

Другой особенностью является дополнительное требование малости управляющего воздействия. Действительно, если допустить значительные управляющие силы, превышающие по величине внешние силы, действующие на объект управления, обратные связи могут кардинально изменить динамику системы: колебательный характер процессов исчезнет.

Задачи стабилизации многообразий, так называемые задачи частичной стабилизации, систематически изучались во многих работах, (см., напр., монографии [86, 28], обзор [29]). Однако большинство предложенных алгоритмов стабилизации основано на преобразовании исходной задачи к аналогичной вспомогательной задаче для некоторой линейной системы при помощи дополнительных обратных связей {метод линеаризации обратной связью, или feedback linearization). Такой подход, как правило, не позволяет получить алгоритмы, удовлетворяющие требованию малости управления. Другой подход, основанный на методе скоростного градиента и позволяющий учесть требование малости управления, был предложен в работах [6, 108, 142].

5. Модификация аттракторов (преобразование хаотических колебаний в периодические и обратно). До начала 90-х годов в работах по анализу и синтезу колебательных систем рассматривался исключительно случай периодических колебательных режимов. Всплеск интереса к этой тематике и лавинообразный рост числа публикаций вызвала работа Э.Отта, Ч.Гребоджи и Дж.Йорке [180], в которой ставилась задача управления хаотическими колебаниями и

предлагался подход к ее решению, осповаппый па линеаризации отображения Пуанкаре.

Понятие ’’детерминированный хаос” вошло в науку в 70-х годах, когда было обнаружено, что в нелинейных детерминированных системах даже невысокого порядка могут возникать нерегулярные колебания, напоминаюш;ие случайные. Такие системы были названы хаотическими, а их предельные множества (отличаюш;иеся от предельных циклов) были названы странными аттракторами. В 70-х - 80-х годах было обнаружено, что хаотическое поведение присуш;е большому числу природных и технических систем. Были развиты новые методы аналитического и численного исследования хаотических систем, основанные на таких понятиях, как отображения Пуанкаре (точечные отображения), показатели Ляпунова, фрактальные размерности [137, 68, 65].

Управление хаотическими колебаниями также потребовало новых подходов. Авторы [180] и их последователи выявили новый класс целей управления, вообш;е не предпола- гаюш;ий задания количественных характеристик желаемого движения. Вместо этого задается желаемый качественный тип предельного множества (аттрактора). Папример, требуется преобразовать хаотические, нерегулярные колебания в периодические или квазипериодические. С другой стороны, накладывается уже упоминавшееся дополнительное требование малости управления. Развитие методов решения подобных задач стимулировалось новыми применениями в лазерных и химических технологиях, в технике телекоммуникаций, в биологии и медицине.

Приведем примеры [135, 153].

Исследования показали, что работоспособность лазера, перешедшего в хаотический (многомодовый) режим можно восстановить введением слабой обратной связи по оптическому каналу. В результате можно повысить мош;ность излучения при сохранении его когерентности. Напротив, в химической технологии свойство хаотичности процесса перемешивания в реакторе является полезным, так как способствует ускорению реакции и повышению качества продукта. Следовательно, разумной целью управления является в этом случае повышение степени хаотичности.

Наконец, в медицине для лечения некоторых видов сердеч

ной аритмии было предложено использовать электростимуляторы с обратной связью, изменяющие степень нерегулярности сердечного ритма [131, 154].

Перейдем к изложению некоторых новых подходов к решению задач управления нелинейными колебаниями.