13.2.1. Управление энергией консервативных систем. Частичная стабилизация

Рассмотрим уравнения объекта управления в гамильтоновой форме

где p,q G TZ" - обобщенные координаты и импульсы] Н = i7(p,q) - функция Гамильтона (полная энергия системы); и = u{t) G TZ™ - вход {вектор обобщенных сил), В - тхп- матрица, т < п. Ъ качестве цели управления принимаем достижение данной энергетической поверхности, являющейся инвариантным множеством свободной системы [6]:

Точнее формулируем цель управления в виде

Применим к управлению объектом (13.2) метод скоростного градиента (см. [106, 103], Приложение А.). Заметим, что (13.4) соответствует (А.З) (с. 407), если ввести х = col{p,q} и целевую функцию

Для построения алгоритма скоростного градиента вычислим Q - производную (13.5) в силу (13.2). С учетом консервативности получим

Конечные формы (см. Приложение А. (А.16)) алгоритма имеют вид [6]

где 7 > О - коэффициент усиления.

Как отмечено в [6], изложенный подход применим и в случае более сложных требований к желаемому поведению системы. Папример, для систем с несколькими степенями свободы, составленных из нескольких подсистем, можно рекомендовать выбирать целевую функцию в виде

где Of/ > О - весовые коэффициенты, а функции Qi{x) могут быть заданы в виде (А. 10), или в других формах.

Условия достижения целей (13.4), (13.9) были впервые получены в [109, 145, 147, 158] и подробно рассмотрены в [64]. Папример, достижение цели (А. 10) гарантируется, если область фазового пространства между начальным уровнем энергии Hq = i7(p(0),q(0)) и желаемым уровнем энергии Н^, не содержит положений равновесия системы. Важно, что цель будет достигаться при любом значении коэффициента 7 и, в частности, при сколь угодно малом 7 > 0. Отсюда следует, что предложенные алгоритмы (13.7), (13.8) обеспечивают достижение цели при сколь угодно малом уровне управляющего воздействия. ^

Наиболее общие из полученных результатов соответствуют заданию Q{x) в виде Q{x) = ||у(ж)|Р, где у(х) - набор инвариантов (первых интегралов) свободной системы, которая уже не обязательно должна иметь гамильтонову форму.

В рассмотренных выше задачах управления колебательными системами предельные множества траекторий систем нетривиальны, т.е. непусты и отличны от точки. Создание устойчивого колебательного режима отвечает созданию притягивающего множества — аттрактора системы. Такие

задачи относятся к классу задач частичной стабилизации, в которых целевое множество может быть, вообще говоря, произвольным. Выход за рамки представлений о ’’хорошей” системе как об устойчивой системе характерен для теории управления на рубеже столетий. Ниже будут рассмотрены задачи управления хаотическими системами, также относящиеся к классу задач частичной стабилизации. Подробнее о частичной устойчивости и частичной стабилизации см. в [64].

Пример. Управление колебаниями маятника. Следуя [6], рассмотрим уравнение простейшего нелинейного осциллятора: физического управляемого маятника ^

где Lp - угол отклонения маятника от вертикали (<,£? = О ) в нижнем положении, и - управляющий крутящий момент, J,m,l - момент инерции относительно оси вращения, масса и расстояние между осью вращения и центром тяжести маятника (соответственно), д - ускорение свободного падения. Энергия маятника записывается в виде

Рассмотрим задачу раскачки маятника до амплитуды, соответствующей энергии Я*, т.е. поставим цель (13.4). Достижение цели может соответствовать как возбуждению, так и подавлению колебаний маятника, в зависимости от величины начальной энергии Hq. Достижение цели (13.4) для Я* = О означает стабилизацию маятника в нижнем положении, т.е. полное подавление колебаний, в то время как для Я* > 2тдІ это соответствует непрерывному вращению.

СГ-алгоритмы в данном случае принимают простой вид (13.7), (13.8)

Пз результатов [64] следует, что если начальный энергетический слой между уровнями Hq и Н^, не содержит равновесий, то уровень Н^, будет достигаться при всех начальных

условиях, а если начальный слой содержит только неустойчивые равновесия (тг(2А; -Ь 1, 0)), А; = =Ы, ±2,... , то цель (13.4) будет достигаться нри почти всех начальных условиях.