13.2.2. Возбуждение колебаний нелинейного осциллятора: авторезонанс

Рассмотрим несколько более общий пример: управляемый нелинейный осциллятор с одной степенью свободы, описываемый уравнением

где f     - скалярная фазовая координата, и = u{t) - ска

лярное управляющее воздействие, П(<,£?) > О - потенциал. Состоянием системы (13.14) является пара х = со\{^р,ф'\. Важным свойством системы является ее консервативность: все траектории свободной (неуправляемой) системы лежат на “энергетических поверхностях” - линиях постоянного уровня энергии {{(р,ф) : Н{(р,ф) = Я*}, где Н{(р,ф) = ^ф^ + П(у?) - полная энергия системы. Меняя значение Я*, можно получать траектории с качественно различными свойствами: устойчивые и неустойчивые равновесия, гомоклинические и гетероклинические орбиты, неограниченные траектории (см., напр., [12] для случая маятника - потенциала вида П(<,£?) =

= о;о(1—cosij£?) ). Поставим вопрос: насколько можно изменить траекторию системы (13.14) при помощи сколь угодно малого управляющего воздействия?

Ответ хорошо известен для случая квадратичного потенциала:

т.е. для гармонического осциллятора, описывамого линейным уравнением

В этом случае гармоническое внешнее воздействие

при LU = luq іі сколь угодно малой амплитуде у позволяет наблюдать явление резонанса: наличие неограниченных решений, например вида

Динамика нелинейных систем более сложна. Даже для простого маятника вынужденные колебания могут иметь сложный, нерегулярный характер. Известны работы, устанавливающие условия резонанса, например в смысле неограниченного роста нормы решений при приближении частоты воздействия к некоторому бифуркационному значению [50, 129]. Однако существующие результаты относятся к задачам с периодическими решениями и не охватывают случай хаотических движений.

Сложность создания и исследования резонансных режимов в нелинейных системах объясняется тем, что частота колебаний в них существенно зависит от амплитуды. Возникает естественная мысль: не легче ли создать колебания в нелинейной системе, если варьировать частоту внешнего воздействия в зависимости от амплитуды колебаний? Это означает, что u{t) должно зависеть от   т.е. не что иное как форми

рование воздействия в виде обратной связи.

Задача синтеза обратной связи, обеспечивающей достижение заданного уровня энергии, была решена выше (см. также [64, 108, 142, 145, 158] методом скоростного градиента. Для осциллятора (13.14) типовые (“линейный” и “релейный”) законы обратной связи, предложенные в [108, 142, 145], имеют вид (13.12), (13.13), т.е. такой же, как и для простого маятника.

Пусть теперь в системе (13.14) имеются потери (диссипация) типа вязкого трения, т.е. вместо (13.14) рассматривается уравнение

где > О - коэффициент диссипации. Для линейных систем вида (13.17) (при П(і,£?) = ) резонансом принято назы

вать режим наибольшей амплитуды колебаний, который наступает при воздействии (13.16) с частотой = lUq — (р/А. При этом для малых > О колебания в системе (13.16), (13.17) имеют амплитуду

и среднюю энергию за период

Колебания нелинейного осциллятора (13.17) нри воздействии (13.12) или (13.13), также могут достичь больших значений амплитуды. В [64, 109] показано, что в системе (13.13), (13.17) достигается значение энергии не меньше, чем

если параметры закона (13.13) выбраны так, что Н^, > Н. Поскольку (13.19) при малых д приближается к (13.18), можно сказать, что обратная связь (13.12) или (13.13) создает в нелинейной системе (13.17) резонансный режим, энергия которого (в частном случае гармонического осциллятора) не меньше, чем энергия колебаний при возбуждении гармоникой с резонансной частотой. Это явление может иметь разнообразное применение.

Падо сказать, что понимание явления резонанса в физике осталось практически неизменным со времен Галилея, который впервые подробно описал его в 1638 г. В подавляюш;ем большинстве работ рассматривается гармоническое (в крайнем случае - периодическое) входное воздействие. В книге [11] было введено понятие авторезонанса как ’’резонанса под действием силы, порождаемой движением самой системы”, то есть указывалось на возможность воздействий в виде обратной связи. Однако возбуждение продолжали рассматривать как периодическое, допуская лишь возможность медленного (по сравнению с основным тоном колебаний) изменения частоты [35]. Воздействия же вида (13.12), (13.13) могут менять свой характер в темпе процесса, что позволяет суш;ественно уменьшить требуемую мош;ность управления.

Уместно пойти дальше и поставить задачу: до какой энергии можно раскачать осциллятор (13.17) при помош;и обратной связи? Оценка достижимой энергии, как показывает соотношение (13.19), пропорциональна квадрату отношения допустимой амплитуды управления к величине демпфирования. Это верно и для более обш;их нелинейных систем [64].

Очевидно, величина достижимой энергии характеризует степень возбудимости колебаний в системе. Поэтому можно ввести характеристику возбудимости как

где Н[у) - достижимый уровень энергии нри управлении, не превышающем 7 по модулю. Для линейных систем £’(7) = const. Для нелинейных систем £’(7) ф const и возбудимость может быть измерена экспериментально, как и обычная частотная характеристика линейной системы (рис. 13.1).

В отличие от измерения частотной характеристики, когда на вход системы подается гармоническое воздействие (13.16) с постоянной амплитудой и меняющейся частотой, при измерении характеристики возбудимости меняется амплитуда (уровень) входного сигнала, а сам сигнал задается в виде обратной связи. Точному расчету величины £’(7) препятствует необходимость решения сложной задачи оптимального синтеза. Однако нижнюю оценку этой величины можно получить, подавая входной сигнал (13.8) (в частном случае (13.8) ) скоростно-градиентного типа, являющийся локальнооптимальным. Можно показать, что при малых 7 подача входного сигнала (13.8) дает приближенное значение для £(7) с точностью порядка 7.

Знание характеристики возбудимости нелинейной системы позволяет судить о ее близости к границе устойчивости и об ее стабилизирующих свойствах. В частности, характеристика возбудимости занимает место амплитудно-фазовой характеристики в критериях абсолютной устойчивости для нелинейной номинальной системы [146].