13.3.1. Развитие понятия колебания

Понятие хаоса (точнее, детерминированного хаоса) является сравнительно новым в теории систем - оно появилось в 70- X годах нашего века. Хаотические системы [61, 65, 68, 85] представляют новый класс моделей неопределенности, отличающихся по своим свойствам от других моделей (стохастических, нечетких и т.п.). Если в детерминированной модели будущую траекторию можно предсказать на сколь угодно большое время вперед, зная текущее состояние системы, а в стохастической модели точный прогноз, вообще говоря, невозможен даже на сколь угодно малое время, то в хаотической модели ошибка прогноза растет экспоненциально и, следовательно, возможен прогноз на ограниченное время вперед, определяемое допустимой ошибкой. Процессы в хаотических моделях имеют вид нерегулярных колебаний, в которых меняются, ’’плавают” как частота, так и амплитуда.

Колебательные процессы часто встречаются в природе и технике, поэтому формы их описания непрерывно развиваются и совершенствуются. В течение многих лет, до начала XX в., основным видом математических моделей колебаний в механических, электрических и других системах считались линейные дифференциальные уравнения, например

Решениями (13.21) являются гармонические колебания

с круговой частотой и> и периодом Т = 27г/о;, амплитуда которых А = ^УА1 + АІ зависит от начальных условий:

= у(0), = y(0)/t<^. Очевидно, решение (13.22) непрерывно зависит от начальных условий, т.е. малое изменение величин

у(0), у(0) приводит к малому измепепию решения y{t) на всей временной полуоси О < ^ < оо. Частотный спектр функции (13.22) дискретен и состоит из одной точки ш/2п

Для описания колебаний более сложной формы можно соединять модели вида (13.21) с различными частотами колебаний   При ЭТОМ, если частоты     соизмеримы (являются целыми кратными некоторой частоты о;о), то колебания будут периодическими с периодом 2tt/luq. Если же частоты о;,- несоизмеримы, то такие колебания не являются периодическими, они называются квазипериодическими. В обоих случаях решение непрерывно зависит от начальных условий, а его спектр является дискретным конечным множеством.

Заметим, что ”на глаз” различить периодические и ква- зипериодические колебания может быть затруднительно, поскольку реальные измерения (в том числе измерение частоты колебаний) выполняются с конечной точностью и отличить рациональное отношение частот от иррационального практически невозможно.

Па рубеже ХІХ-ХХ в. выяснилось, что линейных моделей колебаний недостаточно для описания новых явлений и процессов в физике и технике. Основы соответствуюш;его математического аппарата - теории нелинейных колебаний - были заложены в работах А.Пуанкаре, Б.Ван дер Поля, А.А.Андронова, П.М.Крылова и П.П.Боголюбова, [11, 18, 33, 52, 55]. Важнейшим в теории нелинейных колебаний является понятие устойчивого предельного цикла - периодической траектории, к которой сходятся все другие траектории (по крайней мере - траектории с близкими начальными условиями). К числу классических примеров нелинейных дифференциальных моделей, обладаюш;их предельным циклом, относятся уравнение Ван дер Поля

где е > 0; уравнение Дуффинга

где р > О, q > О, до > 0; система с релейным элементом

Даже простые пелипейпые модели позволяют описывать колебания сложной формы, например релаксационные (близкие к прямоугольным) колебания, учитывать изменение формы колебания в зависимости от начальных условий (системы с несколькими предельными циклами) и так далее. Теоремы о разложении периодической функции в ряд Фурье показывают, что спектр предельного цикла состоит из счетного набора частот, кратных некоторой основной частоте.

В течение нескольких десятилетий линейные модели колебаний и нелинейные модели с предельными циклами удовлетворяли потребности инженеров. Считалось, что они описывают все возможные типы колебаний детерминированных систем. Это убеждение поддерживалось и математическими результатами: например, известная теорема Пуанкаре- Бендиксона (см. [11, 18, 33, 55, 94], п. 11.2.3. с. 246) утверждает, что единственно возможные виды ограниченных установившихся движений в непрерывных системах второго порядка - это либо состояние равновесия, либо предельный цикл.

Однако в середине XX в. сами математики обнаружили, что уже для систем третьего порядка это не так: в системе становятся возможными весьма сложные движения - ограниченные непериодические колебания. Настояш;ий переворот начался с работы Е. Лоренца [175], опубликованной в 1963 г., где было показано, что качественный характер явлений атмосферной турбулентности, описываемых сложными уравнениями в частных производных Навье-Стокса, может быть передан простой нелинейной моделью 3-го порядка:

Решения системы (13.26) при некоторых значениях параметров (например, при и = 10, г = 97, Ъ = 8/3 ) выглядят как нерегулярные колебания. Траектории в пространстве состояний (фазовом пространстве) могут приближаться к предельному множеству (аттрактору), имеюш;ему весьма причудливое строение (рис. 11.9 на с. 268). Внимание к подобным моделям было привлечено после работы Д. Рюэля и Ф. Такенса [187], которые назвали такие аттракторы ^ странными”, а также работы Т.Ли и Дж. Йорке [169], которые ввели термин ” хаос” для обозначения подобных нерегулярных

явлений в детерминированных системах. Серьезные исследования хаотических явлений были выполнены также в 60-70- X годах в научных школах Москвы (А.Н. Колмогоров, Я.Г. Синай, В.И. Арнольд и их ученики), Нижнего Новгорода (Ю.И. Неймарк, Л.Н. Шильников и их ученики). В дальнейшем хаотическое поведение было обнаружено в огромном количестве систем в механике, лазерной физике и радиофизике, химии, биологии и медицине, в электронных цепях и т.д.[61, 70, 65, 85, 99, 133, 135, 159, 183]. Разработанные новые методы аналитического и численного исследования систем, показали, что хаос - это отнюдь не исключительный вид поведения нелинейной системы. Грубо говоря, хаотические движения возникают, когда траектории системы глобально ограничены и локально неустойчивы. В хаотической системе сколь угодно малое начальное расхождение траекторий не остается малым, а в течение некоторого времени растет экспоненциально. Частотный спектр хаотической траектории является непрерывным. Во многих случаях подобные нерегулярные, непериодические колебания лучше отражают свойства процессов, протекаюш;их в реальных системах.

Следует отметить, что ”на глаз” отличить хаотический процесс от квазипериодического может быть не менее трудно, чем периодический процесс от квазипериодического.