13.3.2. Определение хаотической системы

Терминология в области хаотических моделей еш;е не устоялась, и суш;ествует несколько различных определений хаотических систем. Приведем одно из простейших.

Рассмотрим динамическую систему в непрерывном времени

где X = x{t) G і?" - вектор состояния системы, О < ^ < оо.

Определение 1. Замкнутое множество П С і?" называется аттрактором системы (13.27), если:

а) суш;ествует открытое множество По D такое, что все траектории x{t) системы (13.32), начинаюш;иеся в Qq, определены при всех ^ > О и стремятся к Q при t ^ оо (т.е. dist{x{t),Q) —>■ О при t —>■ оо, если ж(0) G По, где dist(a;,n) =

= infygn \ \х — у\\ - расстояние от точки х до множества П);

б) никакое собственное подмножество Q этим свойством не обладает. □

Определение 2. Аттрактор называется странным, если он ограничен и любая траектория, начинающаяся на нем, неустойчива по Ляпунову. □

Определение 3. Система называется хаотической, если у нее существует хотя бы один странный аттрактор. □

Аналогичные определения даются для систем, дискретных по времени:

Неустойчивость по Ляпунову характеризует основное свойство хаотических колебаний, называемое ’’сверхчувствительностью”, или ’’чувствительной зависимостью”, от начальных условий: любые две сколь угодно близких траектории обязательно удаляются друг от друга на конечное расстояние.

Имеются и другие определения странных аттракторов и хаоса. Например, часто в определение странного аттрактора включают дополнительные требования: существование траекторий (или семейства периодических траекторий), всюду плотных в П, топологическую транзитивность и так далее, подчеркивающие наличие свойства ’’перемешивания” траекторий. Недавние результаты Г.А.Леонова [55], т.2, показывают, что во многих случаях вместо отсутствия устойчивости по Ляпунову при определении странного аттрактора целесообразно требовать отсутствия так называемой устойчивости по Жуковскому, допускающей разную скорость течения времени на разных траекториях системы. Однако строго доказать хаотичность системы непросто, даже пользуясь простейшим определением. Для некоторых общепризнанно хаотических систем полное доказательство хаотичности до сих пор неизвестно, хотя численных и экспериментальных подтверждений накоплено предостаточно. Поэтому основным методом изучения хаотических систем остается численное исследование - имитационное моделирование и оценка различных характеристик. Приведем несколько примеров хаотических систем.

Пример 1. Система (цепь) Чуа. В 1982 г. специалисты по электронным цепям Л. Чуа и Т. Мацумото предложили простую электронную цепь с одним нелинейным элементом, способную генерировать весьма разнообразные, в том числе

хаотические, колебания. Математическая модель цени Чуа имеет вид

где x^y^z - безразмерные неременные, нронорциональные напряжениям на емкостях и току через индуктивность;

/(ж) = Mqx + о, 5(Мі - Мо)(|ж + 1| - |ж - 1|). При Р = 9, q = 14,286, Ml = —1/7, Mo = 2/7 траектории системы (13.29) демонстрируют хаотическое поведение.

Пример 2. Разнообразные хаотические колебания можно генерировать, подавая гармонический сигнал на вход нелинейных осцилляторов, например, заменяя ноль в правых частях уравнений (13.23)-(13.26) синусоидальной функцией

При некоторых значениях частоты и амплитуды возбуждения происходит ’’размазывание” предельного цикла и колебания в нелинейной системе становятся хаотическими.

Для дискретного времени примеры хаотических систем существуют для любой размерности состояния системы, даже при п = I.

Пример 3. Дискретная система с квадратичной правой частью

построенная с помощью так называемого логистического отображения F[x) = Лж(1 — ж), является хаотической [65, 68] при Ло < А < 4, где Ло ~ 3, 57. Ее аттрактором является отрезок [0,1].

Пример 4. Система

где через {Л} обозначается дробная часть вещественного числа А, является хаотической при любом М > 1. Система (13.32) часто используется для генерации псевдослучайных чисел - возможно, первого практического применения хаоса. Это применение основано на том, что при любом начальном условии Жо, несоизмеримом с М, доля точек последовательности (13.32), попавших в некоторый интервал, лежащий в от-

резке [0,1] пропорциональна длине этого интервала [92]. Таким образом, если частоту попадания точек в интервал считать оценкой некоторой вероятности, то совокупность таких вероятностей будет задавать равномерное распределение на [0,1].