13.3.3. Критерии хаотичности

Обратимся теперь к критериям хаотичности.

Как уже было сказано, основным критерием хаотичности является локальная неустойчивость, т.е. разбегание близких вначале траекторий. Соответственно, основной характеристикой хаотичности является скорость разбегания, определяемая так называемым старшим показателем Ляпунова.

Показатели Ляпунова определяются для заданной ’’опорной” траектории x[t) системы (13.27) с начальным условием ж(0) = Xq. Для этого составляется уравнение в вариациях (система, линеаризованная вблизи x[t))

где Sx = X — x(t), W{t) =    ^ матрица Якоби системы

(13.27) (матрица частных производных от правых частей), вычисленная вдоль решения x{t). Предполагается, что частные производные от F{x) суш;ествуют, т.е. правые части (13.27)

- гладкие функции. Задав начальное отклонение 2 = 5ж(0), можно вычислить величину

характеризуюш;ую скорость экспоненциального роста решений (13.33) в направлении 2 и называемую характеристическим показателем {ляпуновской экспонентой) в направлении Z [34, 65, 68].

Еш;е А.М. Ляпунов показал, что при небольших дополнительных предположениях предел в (13.34) суш;ествует, конечен для любого 2 G і?" и не зависит от начального выбора точки Xq на траектории x{t). Более того, число различных характеристических показателей конечно, их можно пронумеровать в порядке убывания: «і > «2 > ••• > и суш;ествует базис Zi Е R", г = 1, для которого a{xQ, Zi) = а,-, г = 1, ...,п.

Наиболее важен старший лянуновский показатель «і. Если «1 > О вдоль ограниченного решения x{t), плотного в аттракторе П, то это решение неустойчиво по Ляпунову, а аттрактор является странным. Нри этом величина «і характеризует степень неустойчивости, другими словами, - степень экспоненциальной чувствительности к начальным данным. Для линейной системы с постоянной матрицей х = Ах и нулевого опорного решения x{t) = О, очевидно, «і = max,-КеЛДЛ), т.е. |ofi| совпадает с обычной степенью устойчивости (или неустойчивости) системы.

Старший показатель «і может быть приближенно вычислен и без построения фундаментальных решений уравнений в вариациях

где x{t) - решение (13.27) с начальным условием ж(0), ||ж(0) — ж(0)11 = е, причем t - достаточно велико, а е > О достаточно мало. Для повышения точности расчета можно вычислять среднее правых частей (13.35) при разных начальных условиях Жо, взятых на траектории x{t). Тогда t необязательно брать очень большим [68].

Показатели Ляпунова характеризуют прогнозируемость траекторий системы. Действительно, траектория x{t) аппроксимируется через время Т другой траекторией с погрешностью Д, если

где е - начальная погрешность. Следовательно, хаотическую траекторию можно спрогнозировать с заданной точностью на некоторое время вперед. Это принципиально отличает хаотические системы как модели неопределенности от стохастических систем, в которых ошибка прогноза может, вообш;е говоря, принимать сколь угодно большие значения даже при сколь угодно малом горизонте (времени прогноза).

Другой важной характеристикой хаотической системы является фрактальная размерность аттрактора, характеризую- ш;ая его ’’густоту”, или ’’пористость”. Для ее подсчета аттрактор П покрывается кубиками размера е. Пусть N[e) - количество кубиков в покрытии. Вычислим величину

(Если предел пе существует, то в (13.37) берется пижпий предел - наименьший из частных пределов по подпоследовательностям). Можно показать, что существует число df > О такое, что /u(n, d) = -Ьоо при d < df, /u(Jl, d) = О при d > dj. Это число называется фрактальной размерностью или емкостью множества Vl. Из определения следует   откуда ясно, что емкость можно определить из соотношения

Можно показать, что если множество Q есть точка, гладкая кривая или двумерная поверхность, то df будет равна О, 1 или 2, соответственно. Однако есть множества, у которых df - дробная величина. Такие множества были названы Б. Мандельбротом фрактальными, или фракталами. Примерами фракталов являются странные аттракторы: для системы Лоренца df Кі 2,07, а для цепи Чуа df Кі 2,81. Известны математические результаты, утверждающие, что множество с фрактальной размерностью df, может быть размещено без самопересечений в евклидовом пространстве, имеющем размерность не выше, чем 2df + 1. Если же разрешить самопересечения, то размерность объемлющего пространства может быть снижена до df + I. Эти результаты важны при построении модели системы по экспериментальным данным; они означают, что поведение траекторий на аттракторе, имеющем фрактальную размерность df может быть описано моделью в пространстве состояний с размерностью, не превышающей 2df + 1. Более подробно о различных видах фрактальной размерности и о способах ее вычисления можно прочесть в [65, 68].