1.6.2. Частотные характеристики дискретных систем

Рассмотрим стационарную дискретную систему (1.24) при и[к] = uZq, где и G TZ™, Zq £ C,Zq ф 0. Ищем решение (1.24) в виде х[к] = xZq для некоторого ж G С". Аналогично непрерывному случаю подстановкой и[к], х[к] в (1.24) получаем xZq~^^ = AxZq + BuZq, {zqI — A)x = Ей. Для нерезонансного

случая det(2^oI ~ ^) Ф Oj откуда получим х = [zqI — А) ^Ви, следовательно

Как и для непрерывных систем, формула (1-42) дает вынужденную составляющую решения. Выходной процесс (с точностью до переходной составляющей) описывается выражением у[к] = Сх[к] + Du[k] = C{zq1 — A)~^BuZq + DuZq = (^(^ol - A)-^B + D)uz^o = W{zo)uz^o = W{zo)u[k].

Рассмотрим далее ’’гармонический” входной процесс и[к] = й cosuik = й   -Ь     где вещественный параметр ш - без

размерная частота. Последовательность и[к] можно представить в виде и[к] = u^[z'^ + -г^-), где . Отсюда, полагая в (1.42) Zq = ±6-^*^, получим

Определение. Выражение W(e-^‘^) называется частотной передаточной функцией, или частотной характеристикой дискретной системы (1.24) от безразмерной частоты ш. □

После рассуждений, аналогичных приведенным в п. 1.6.1. с. 46, вводим следующие частотные характеристики дискретных систем [15, 47, 66, 76, 95]

А{ш) = |W(e-^‘^)| - амплитудно-частотная характеристика

(АФХ), А{-си) = А{сиУ,

д    _

(р{ш) = argW(e-^‘^) - фазо-частотная характеристика (ФЧХ), ір{-ш) = -(р{ш)-

и{ш) = ReW(e-^‘^), Ѵ{ш) = ImW(e-^‘^) - вещественная и мнимая частотные характеристики {ВЧХ, МЧХ), f/(—о)) = U{u>), Ѵ{-со) = -V{lo).

Особенностью частотных характеристик дискретных систем является их периодичность с периодом 2тг: W(e-^‘^+^’^^) = W(e-^‘^), N = =Ы, ±2, ±3,. . . . Формально это связано с тем, что аргумент 2^ дискретной передаточной функции W{z) при подстановке 2^ = принимает периодически повторяющиеся значения, ’’пробегая” на комплексной плоскости окружность единичного радиуса. С точки зрения ’’физического”

смысла частотных характеристик заметим, что дискретные входные процессы, частоты которых отличаются на 2тгіѴ, неразличимы, образуют одну и ту же последовательность {cosuik = cos(o) ± 2тгіѴ)А;). Поэтому при вычислении частотных характеристик достаточно рассматривать и> G [0,2тг), более того, в силу симметрии годографа W(e-^‘^) относительно вещественной оси брать и> G [0,тг]. Частота о)дг = тг называется иногда частотой Найквиста дискретной системы. При U! > о)дг получаются повторяющиеся (симметрично) значения АЧХ и ФЧХ.