13.3.4- Применения хаотических моделей

Остановимся на областях нрименения хаотических моделей.

Из предыдущего ясно, что хаотические модели следует использовать для описания непериодических колебательных процессов с непостоянными, меняющимися характеристиками (например, частотой и фазой). Существующие методы позволяют оценивать эти характеристики по результатам измерений. Ири этом такая величина, как частота колебания, становится ’’нечеткой” и уступает место спектру, который является непрерывным. Вводятся новые важные величины: старший лянуновский показатель (степень неустойчивости), характеризующий скорость разбегания траекторий и, следовательно, время прогнозируемости процесса; фрактальная размерность, характеризующая ’’пористость” клубка траекторий. Важно, что известные хаотические модели имеют небольшое число параметров, а процессы в них обладают малой (несколько единиц) фрактальной размерностью. Это повышает надежность и прогнозирующую силу моделей. Перечислим некоторые из уже известных применений хаотических моделей.

1. Описание нерегулярного поведения реальных систем. Па сегодняшний день известен целый ряд реальных физических устройств и процессов, проявляющих при некоторых условиях хаотическое поведение. Приведем несколько примеров [61, 65, 68, 85]:

-    газовые или полупроводниковые лазеры в так называемых многомодовых режимах ;

-    механические системы, состоящие из нескольких связанных осцилляторов (например, маятников), а также системы с ударами и люфтами;

-    электронные схемы с активными элементами, например полупроводниковыми приборами с отрицательным дифференциальным сопротивлением (такими, как туннельные диоды, диоды Ганна и т.п.);

-    химические и физико-химические реакции с нелинейной кинетикой (например, так называемая реакция Белоусова- Жаботинского

-    временные ряды в экономике и финансах (например, бизнес-циклы, цены на акции, обменные курсы валют [133]). Заметим, что в экономических и финансовых приложениях

хаотические модели в последние годы потеснили традиционные для этих областей стохастические модели.

2.   Генерация нерегулярных сигналов. Во многих технических системах возникает необходимость использования псевдослучайных чисел и сигналов [92]. В качестве генераторов псевдослучайных чисел можно использовать хаотические системы.

Простейший подход к построению хаотических генераторов состоит в том, что берется динамическая система, описываемая одной из типовых хаотических моделей, и по внешнему виду траекторий выбирается та, в которой качественный характер колебаний наиболее близок к желаемому. После этого путем подбора параметров моделей устанавливаются желаемые качественные характеристики колебаний (амплитуда, спектр и т.д.). Пспользование характеристик хаотической динамики (показателей Ляпунова, фрактальных размерностей и т.п.) позволяет задавать дополнительные свойства шумов и помех при их генерации. Заметим, что ”на глаз” квазипериодические колебания с большим числом составля- юш;их гармоник и хаотические колебания бывает трудно различить. В то же время, как и при моделировании нерегулярных процессов, малая размерность и малое число параметров хаотических моделей дают им дополнительные преиму- ш;ества перед линейными моделями с большим числом гармоник.

3.   Синхронизация нерегулярных колебаний и управление ими. Двойственность природы хаотических систем (детерминированные системы с хаотическим поведением) приводит к новым неожиданным их применениям. Папример, показано [156, 159, 181], что две хаотические системы можно заставить колебаться синхронно (в одной фазе), если подавать на одну или на обе системы сигнал обратной связи по ошибке рассогласования. Пспользование этого эффекта в технике связи позволяет применять хаотический несуш;ий сигнал вместо периодического, что в свою очередь дает возможность повысить надежность и скрытность процесса передачи сооб- ш;ений. Подробнее задача управляемой синхронизации рассмотрена в следуюш;ем параграфе, (см. также [135, 153]).

Отметим, что синхронизация - это лишь один (хотя и весьма важный) класс задач управления хаотическими колебани-

ями. Представляют также интерес задачи, где целью управления является достижение заданного значения какой-либо характеристики процесса: энергии, энтропии, фрактальной размерности и т.д. В других задачах целью является изменение характера колебаний (модификация аттракторов, см.

13.1.).   Например, хаос может быть нежелательным и систему требуется стабилизировать вблизи равновесия или вблизи периодической орбиты (в биологии это задачи стабилизации биоритмов [61], в экономике - повышение прогнозируемости бизнес-циклов [133]). Иногда, наоборот, хаос может оказаться полезным (например, хаотическое перемешивание ускоряет ход химической реакции и повышает качество ее продуктов). В таких случаях цель управления состоит в создании хаотических колебаний с заданными свойствами.

Еш;е раз подчеркнем характерную особенность задач управления колебательными, в том числе хаотическими, процессами. Она состоит в том, что за время процесса управления в системе может происходить большое число колебаний и, значит, энергию управления за один период (т.е. среднюю мош;ность управляюш;его сигнала) следует считать достаточно малой. Интересно, в частности, выделить задачи, решаемые с помош;ью управления сколь угодно малой мош;ности (см. п. 13.2, а также п. 13.4). С другой стороны, хаотичность системы означает сильную чувствительность ее к изменению начальных условий и внешних воздействий. Это способствует снижению требуемой мош;ности управления, но затрудняет обеспечение устойчивости замкнутой системы.