13.4.2. Адаптивное управление моделью брюсселятора

Одной из наиболее популярных и подробно исследованных моделей химической кинетики является тримолекулярная модель, или брюсселятор. Эта модель была предложена А.Тьюрингом [192] в 1952г. и детально изучалась И. Нригожиным с коллегами [70]. Модель брюсселятора в безразмерной форме имеет вид

где X - концентрация исходного вещества; Y - концентрация продукта реакции; А,В - параметры (константы скорости реакции).

Рассматриваемая система имеет неподвижную точку при X = А, Y = ВА~^, и для некоторых значений параметров А, В эта неподвижная точка неустойчива, а система (13.49) имеет устойчивый предельный цикл [70], подобный изображенному на рис. 13.2. Рассмотрим следующую задачу управления. Пусть в моменты времени переменная Y(t) достигает своего

Ar-го локального максимума, соответствующее максимальное значение обозначим = У (t/г). Пусть управляющее воздействие u{t) будет кусочно-постоянной функцией, изменяющей параметр А в моменты времени с учетом измеренного значения У/;-. А = Aq + u{t), u{t) = Uk для tk < t <     Значения параметров системы Aq ж В предполагаются неизвестными. Цель управления состоит в удержании значений локальных максимумов У {t) на данном уровне у* с помощью целенаправленного изменения u{t) в моменты времени Линеаризованная модель ’’вход-выход” (13.43) примет вид

где а ж Ь - неизвестные коэффициенты, ~ ограниченная ошибка модели.

Адаптивный алгоритм управления включает в себя алгоритм управления основного контура

определяющий новое значение управляющего воздействия к/г, и алгоритм адаптации, основанный на результатах предыдущей главы и вычисляющий оценки hk, параметров модели

объекта управления (7 > О - коэффициент усиления адаптации)

На рис. 13.3 показана зависимость Y(t) от времени t для цели управления (13.40) при у* = 4.5 ( тахУ(^) 3.55 для неуправляемой системы). Были выбраны следующие начальные условия и значения параметров: Ло=2; і?=5.2; Х(0)=2; У(0) = 2.5; 7=0.095, ао=1, 6q=100.

Было обнаружено, что динамика брюсселятора может оказаться хаотической [68], если концентрация вещества А модулируется по гармоническому закону с малой амплитудой:

А = Ао + dcos{u>t). Соответствующие значения параметров [68]: Ао = 0.4, В = 1.2, а = 0.05 ш ш = 0.81 . Для указанных значений параметров существует хаотический аттрактор (рис. 13.4). Постановка задачи управления и адаптивный алгоритм управления не меняются в сравнении с рассмотренной задачей управления колебаниями брюсселятора. В этом случае А = Ао + cicos{Lut) + u{t), Uk = Y{tk). Значения параметров системы Ао, В,а и ш предполагаются неизвестными. Цель управления состоит в удержании значений локальных максимумов У(t) на данном уровне у* с помощью целенаправленного изменения u{t) в моменты времени

На рис. 13.5, 13.6 показаны зависимости Y(t) и u{t) от времени t при у*=2.5 (тахУ(^) ^ 3.2 для неуправляемой системы). Для моделирования были выбраны следующие начальные условия и значения параметров: Х(0)=0.5; У(0) = 1.0. Моделирование показало, что цель управления (13.40) также достигается для других значений у*, вплоть до у*=3.5.