13.4-3. Адаптивное управление моделью Рёсслера

В настоящей главе моделированием исследуется вопрос о необходимости введения ограничения на величину управления и возможности достижения цели управления с помощью такого ограничения посредством малого управления.

Рассмотрим модель динамики химической реакции, протекающей в некоторой емкости с перемешиванием и предложен-

ной о. Рёсслером в 1976 г. [68, 70]:

где А,В,С - положительные параметры. У этой модели имеется неустойчивое положение равновесия в точке X = Y =

= Z = О, и при некоторых значениях параметров А^В^С динамика системы (13.53) становится хаотической [70], как показано на рис. 13.7.

Рассмотрим следующую задачу управления. Пусть tk - те моменты времени, в которые переменная У (t) достигает своего Аг-го локального максимума. Соответствующее максимальное значение обозначим Ук=У{^к)- Пусть управляющее воздействие будет кусочно-постоянной функцией, изменяющей значение параметра С в моменты с учетом измеренного значения у^'. С = Со -\- u{t)^ u{t) = для ^ t < Значения параметров системы А,5,(7о предполагаются неизвестными. Цель управления состоит в удержании значений локальных максимумов У (t) на данном уровне у^ с помощью целенаправленного изменения u{t) в моменты времени Ли-

неаризованная модель ’’вход-выход” (13.43) для рассматриваемой системы примет вид

где Uk - управляющее воздействие; {аі}1 и {Ьі}і - неизвестные коэффициенты; - ограниченная ошибка модели.

Адаптивный алгоритм управления включает в себя алгоритм управления основного контура

определяющий новое значение управляющего воздействия Uk, и алгоритм адаптации, основанный на результатах предыдущего параграфа и вычисляющий оценки dik,bik параметров модели (13.54) объекта управления (7 > О - коэффициент усиления адаптации):

В соответствии с теоремой 1 число коэффициентов модели ’’вход-выход” должно быть на единицу меньше размерности исходной непрерывной системы. Однако интересно исследовать вопрос об увеличении или уменьшении числа коэффициентов модели с точки зрения как сохранения работоспособности алгоритма, так и скорости сходимости алгоритма при достижении цели управления. Поэтому для модели Рёсслера были просчитаны модели ’’вход-выход” для трех, двух и одного коэффициентов при прочих равных условиях. Моделирование показало, что цель управления достигается даже при простейшей модели с одним коэффициентом (видимо, это особенность конкретной системы), но в сравнении с моделью с тремя коэффициентами скорость сходимости существенно падает.

Теоретические результаты подверглись проверке посредством компьютерного моделирования с использованием пакета АДАМ [72], функционирущего в среде MATLAB. Па рис. 13.8, рис. 13.9 показаны зависимости координаты Y(t) и управляющего воздействия u{t) как функции t для цели управления (13.40) при у* = 6 (max У(^)=4.54 для неуправляемой хаотической системы). Соответствующий фазовый портрет

показан на рис. 13.10. Для моделирования были выбраны следующие начальные условия: Л=0.38; і?=0.3; (70=4.5; Х(0) = 1; У(0)=2'(0)=0; 7=0.005. Для модели ’’вход-выход” с тремя коэффициентами a,|o=0 (г = 1,2,3),6і|о = 5,б2_з|о = 0.

Были обнаружены некоторые интересные свойства предложенных алгоритмов. Так, цель управления в рассматриваемой системе не достигается за разумное время моделирования процесса управления, если целевое значение у* лежит внутри хаотического аттрактора модели Рёсслера. Видимо, это вызвано тем, что рассматривается модель сильно диссипативной системы (в этой связи можно сравнить достижение аналогичной цели управления в других системах даже малым управлением). Второе свойство состоит в необходимости ограничения управляющего воздействия (в приведенном выше примере й = 1.9): в отсутствие такого ограничения управляемая система может расходиться на нескольких первых шагах из-за большого значения и неизменности управления между точками достижения максимума выхода.

Рассмотрим также задачу стабилизации предельного цикла второго порядка. Модель Рёсслера имеет устойчивый предельный цикл первого порядка при значениях параметров А = 0.38, В = 0.3, Со = 1 с максимальным значением У^ах ~ 0.8 (рис. 13.11). При Со = 2.5 имеется устойчивый предельный цикл второго порядка со значениями локальных максимумов Ѵтах ~ 1;2.3. Таким образом, идеальное управление по параметру С заведомо существует. Необходимо достигнуть цели управления (13.40) с у*=2, где у* является максимальным за цикл значением У{і). Результаты моделирования показаны на рис. 13.12, рис. 13.13 и подтверждают работоспособность предложенного алгоритма, а также сходимость управляющего воздействия к идеальному значению.