13.5.1. Идея управляемой синхронизации

Как указывалось в п. 13.1., в задаче синхронизации двух подсистем с векторами состояния х G и z Е одинаковой размерности можно определить синхронный режим как выполнение соотношения x{t) — z{t) = О для всех ^ > О, а целью синхронизации считать асимптотическое соотношение

При этом в нетривиальном случае движение каждой подсистемы остается колебательным и, в частности, может быть хаотическим.

В последние годы наблюдается возрастающий интерес исследователей к задаче синхронизации хаотических систем [181, 136, 128, 156, 153, 135]. Это вызвано не только научным интересом к задаче, но также ее практическими применениями для различных областей, в частности, - в телекоммуникации [37, 112]. Однако большинство методов синтеза предложены и обоснованы при условии, что все параметры системы известны и состояния доступны измерению. Кроме того, ряд методов применим только для систем невысокого порядка.

Практический интерес представляет задача синхронизации двух или более систем, в которой не только начальное состояние (передатчика), но и ряд его параметров неизвестны при построении приемника. Эта более сложная задача может соответствовать применению параметрической модуляции для передачи сообщений и относится к задачам адаптивной синхронизации [142, 143, 176]. Теория управления открывает новые горизонты в задаче синхронизации и позволяет предложить общие подходы для ее изучения [128].

Поясним идею управляемой синхронизации для упрощенного случая, когда ведущая система (эталонный генератор) описывается уравнением

а ведомая (управляемый генератор) - уравнением

где x,z,u - п-мерные векторы. Выбирая вектор сигналов обратной связи u{t) пропорциональным ошибке

где е = X — Z - вектор ошибок, А' > О - коэффициент усиления, получим уравнение ошибок

в котором x{t) - заданная функция времени, являюш;аяся решением (13.58). Если матрица Якоби А{х) =    ограничена в некоторой области Q, содержаш;ей решение системы (13.58)-(13.60), то легко подобрать такое К > О, чтобы собственные числа симметричной матрицы А[х) + [х) — 2КІ„, где І„ - единичная п X п-матрица, лежали левее мнимой оси при xEQ. При этом, как известно [34], система (13.58)-(13.60) будет обладать свойством так называемой конвергентности в Q: все ее траектории, лежаш;ие в Q, сходятся при ^ оо к единственному ограниченному решению. Поскольку e{t) = О является решением (13.61), то к нему и сходятся все траектории. Таким образом, решения систем (13.58) и (13.59)-(13.60) неограниченно сближаются, что и означает синхронизацию двух систем. При этом поведение каждой из систем может быть и оставаться хаотическим.

В литературе получены условия управляемой синхронизации для более сложных задач: 1) при неполном измерении ( когда измерению доступен лишь вектор выходных координат у = /г(ж)); 2) при неполном управлении (когда u[t) является т-мерным вектором, m < п и вместо u[t) в (13.59) стоит    где В - прямоугольная т X т-матрица). Были

получены также условия адаптивной синхронизации (когда часть параметров математических моделей систем неизвестна) [143, 153, 176]. Один из вариантов этой задачи адаптивной синхронизации с к передаче информации изложен в данном параграфе ниже.

Заметим, что задача синхронизации в формулировке (13.58) -(13.60) совпадает с традиционной для теории управления за-

дачей управления с эталонной моделью. В более общей постановке допускается взаимное влияние подсистем, что соответствует описанию подсистем в виде

и введению модели динамики связи (взаимовлияния):

Критерий синхронизации может допускать также возможность сдвига фаз между процессами в синхронизируемых подсистемах [16, 17]. Особый интерес представляет синхронизация слабой связью, т.е. когда величина сигнала взаимосвязи u{t) предполагается малой.

Отметим также, что эффект синхронизации изучался в механике, начиная с работы X. Гюйгенса (1673 г.), и имеет многочисленные применения, например в вибрационной технике [16, 17]. В традиционной для механики постановке задачи синхронизации система связи (13.63) считается заданной и требуется найти условия сходимости траекторий системы (13.62) - (13.63) к некоторой периодической траектории [16] или условия достижения иной цели синхронизации, например сходимости к нулю ошибки e{t) = x{t) — z{t), т.е. задача является задачей анализа [56]. Мы же здесь говорим о задачах, где требуется найти подходящую систему связи (13.63), которая описывает регулятор или алгоритм взаимодействия и обеспечивает достижение заданной цели. Такие задачи относятся к классу задач синтеза (управляемой синхронизации). В теории управления, однако, методы их решения разработаны далеко не для всех практически важных случаев, несмотря на то что в последние несколько лет наблюдается необычайно быстрый, лавинообразный рост числа публикаций по управлению и синхронизации хаотических систем [112, 135, 153].