13.5.3. Условия адаптивной синхронизации

Для вывода условий работоспособности предложенной схемы напомним некоторые определения и результаты.

Определение 1 [106]. Система х = Ах + Ви, у = Сх с передаточной матрицей W(X) = С{XI — А)~^В, где и, у £ TZ‘ ш X Е С называется гипер-минималъно-фазовой если она минимально-фазовая (т.е. многочлен ¥?(А) = det(A/—Л) det ѴК(Л) гурвицев), и матрица СВ = 1ітд_;.оо АѴК(Л) симметрична и положительно определена. □

Заметим, что для I = 1 система п-го порядка гипер-мини- мальнофазовая, если числитель ее передаточной функции - гурвицев многочлен степени п — \ с положительными коэффициентами, т.е. определение совпадает с определением строгой минимально-фазовости, введенным в главе 12.

Определение 2. Вектор-функция / : [0,оо) —>■ TZ™ называется постоянно возбуждающей (ПВ) на [0,оо) , если она измерима и ограничена на [0,оо) и существуют а > 0,Т > О такие, что

для всех ^ > О ^

Лемма 1 [64, 103]. Пусть заданы матрицы A,B,C,G размеров п X п, п X т, I X п, т X I. Положим гапк(і?) = т. Тогда существуют положительно определенная п X п-матрица Р = Р^ > О и / X т-матрица 0* такие, что

тогда и только тогда, когда система х = Ах + Ви, у = ССх гипер-минимально-фазовая.

Лемма 1 устанавливает условия существования обратной связи и = Ѳ^,у + V, при которой замкнутая система со входом V и выходом Gy строго пассивная. Она имеет непосредственное отношение к лемме Якубовича-Калмана, поэтому может быть названа ’’леммой Якубовича-Калмана для систем с обратной связью”, см. [14, 64, 119].

Лемма 2 [64, 103]. Рассмотрим вектор-функции /,Ѳ : [0,оо) —>■ TZ'^. Предположим, что Ѳ{і) непрерывно-дифференцируема, Ѳ{і) —>■ О при ^ оо и / - ПВ. Тогда, если Ѳ{і) —>■ О при t —>■ оо, то Ѳ{і) f[t) —>■ О при t —>■ оо.

Условия адаптивной синхронизации сформулируем в виде следующей теоремы.

Теорема 1. Предположим, что все траектории передатчика (13.64) ограничены и линейная система с передаточной функцией W{\) = GC{XI — А)~^В гипер-минимально-фа- зовая. Тогда все траектории передатчика (13.68), (13.72), (13.73) ограничены и выполнено (13.70). Если, кроме того, вектор-функция

ifiiyd), ■ ■ ■ , fm{yd)) удовлетворяет условию ПВ, то также имеет место (13.67).

Доказательство. Для доказательства теоремы рассмотрим функцию Ляпунова вида

где матрица Р = Р^ > О и число следует определить. Вычисление V дает, что У < О при е / О имеет место тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:

Применяя лемму 1, получим, что У < О при е / О тогда и только тогда, когда алгоритм адаптации имеет вид (13.72), (13.73) и система х = Ах + Ви, у = Сх является гипер-минимально- фазовой. Поэтому функция V{t) = V{x{t), Ѳо{і), Ѳ{і) ,t) ограничена. Следовательно (так как fi{yd{t)),i = 1,... ,m ограничены), также ограничены функции e{t), Далее, из уравнений (13.76) следует, что V = е’’(РЛ* -Ь Л^Р)е < —^^||e(^)|P для некоторого > 0. Интегрирование последнего уравнения на интервале [О, дает У(^)— 1/(0) < —ji ||e(s)|Prfs. Принимая во внимание, что У > О, получим: У (0) > ji ||e(s)|Prfs. Отсюда следует неравенство

Так как ipi{yd),i = 1,... ,т, ограничены, то ввиду (13.71), e{t) тоже ограничено. Из (13.77) и леммы Барбалата (см. [64], лемма 2.1) получим, что достигается цель (13.70).

Для доказательства (13.67) заметим сначала, что из (13.70)

и (13.72) следует, что Ѳ{і) —>■ О при t —>■ оо. Дифференцированием (13.71), из ограниченности функций е,Ѳ, ір^,у ,Ѳо и их производных по времени заключаем, что e{t) ограничено. Лемма Барбалата влечет, что e(t) —>■ О при t —>■ оо. Отсюда и из (13.72) получим, что Ѳ{і) <~pd{t) —>■ О при t —>■ оо. Наконец, (13.67) следует из условия ПВ и леммы 2. ■

Замечание. Теорема 1 фактически дает необходимое и достаточное условие существования функции Ляпунова вида (13.75) со свойствами

Это означает, что нет другого алгоритма адаптации, основанного на функции Ляпунова (13.75) со свойствами (13.78).

В качестве примера далее рассмотрена задача синхронизации двух цепей Чуа с неизвестными параметрами и неполными измерениями.