13.5.4. Передача сообщений с использованием систем Чуа

Пусть в качестве передатчика и приемника используются системы Чуа (см. 13.3). Модель передатчика в безразмерной

форме имеет вид

где f{z) = Moz + 0.5(Мі - Мо)Ш-, h{z) = + 1| - - 1|; Mq, Mi,p,q - параметры передатчика. Пусть s = s{t) - сообщение, которое следует восстановить в приемнике. Предположим, что передаваемый сигнал имеет вид yd{t) = (t) и известны значения параметров р, д.

Параметры Mq, Mi считаются а priori неизвестными, что мотивирует к использованию адаптации при синтезе приемника. В соответствии с вышеизложенным, приемник описывается уравнениями

где Со,Сі - настраиваемые параметры. Алгоритм адаптации (13.72), (13.73) принимает вид

где 7о,7і - коэффициенты усиления алгоритма.

Псследуем возможность системы (13.80), (13.81) получать и декодировать сообщения. Для этого проверим условия теоремы 1, предполагая, что s{t) = const. Пз уравнения ошибки следует

где е,- = Хі — Xd^, г = 1,2,3. Система (13.82), очевидно, имеет форму Лурье (13.71), где

Ѳі — сі^ Ѳі — S, Ѳо — Со-

Передаточная функция линейной части системы имеет вид

Видно, что порядок системы п = 3, а, так как числитель - гурвицев многочлен степени 2 для всех g > О и и всех вещественных р. Следовательно, условие гипер-минимально-фа- зовости выполнено при g > О и любых р, Mq, Mi. Таким образом, теорема 1 обеспечивает ограниченность всех траекторий приемника x{t) и сходимость ошибки наблюдения: е(^) —^ 0. В частности, yd{t) — Xi{t) —^ 0. Далее, для того чтобы иметь возможность восстановить сигнал s{t), приемник должен обеспечить сходимость Ci(t) — s —^ О для каждой постоянной S. Согласно теореме 1, это имеет место при выполнении условия ПВ, (см. определение 2), которое в данном случае записывается как

для некоторых Т > О, а > О и всех > 0. Для проверки (13.84) заметим, что условие (13.84) по существу означает.

что траектория передатчика х^{і) пе сходится па плоскость = О при t —>■ оо. Но это верно, когда система (13.79) обладает хаотическим поведением. Действительно, в этом случае значение Xd^[t) покидает интервал ( — 1,1), (где fi{z) линейна), неограниченное число раз, скажем, в моменты , к = 1,2,.... Интервалы времени At^ = t^+i — между могут быть ограничены некоторой константой, если траектория не сходится к множеству х^і^ = 0. Можно найти также нижнюю границу для а в (13.84):

Значение «о характеризует скорость сходимости оценок параметров. Это следует из известных результатов по скорости сходимости (см., например, [36]) так что если > О, то Сі(^) — S —>■ О сходится экспоненциально с показателем сходимости не менее 7і«о для достаточно малых 71 > 0. Из свойства эргодичности вытекает, что

где - среднее значение х\^ {t) на аттракторе П и р = sup\xd, (01-

Приведем результаты моделирования описанной выше системы. Примем следуюш;ие значения параметров р = 9, q =

п

14.286, Мо = 5/7, Ml = —J. Для этих значений параметров система (13.79) обладает стохастическим хаотическим аттрактором (рис. 13.14). Начальное состояние передатчика Ж(г(0) = [0.3,0.3, 0.3]. Как начальное состояние приемника Хо, так и начальные значения настраиваемых параметров Со(0), Сі(0) приняты нулевыми. Для устранения влияния начальных условий никакое сообш;ение не передавалось в течение первых 20 с (’’настройка”, или ’’калибровка”, приемника), т.е. принято s{t) = 1 для О < ^ < 20 с.

Процессы изменения ошибки наблюдения (рис. 13.15) и оценок параметров (рис. 13.16) показывают, что как ошибки наблюдения, так и параметрические отклонения Ci{t) — s со временем быстро затухают. Значение Co(t) стремится к

некоторой постоянной величине.

После периода настройки, передается сообщение, имеющее вид ’’прямоугольной волны”:

где So = 1.005, 82 = 0.005. Результаты моделирования для Tq = 5.0 с, 7і = 1.0 показаны на рис. 13.16, 13.17. Как видно из графиков, восстановленный сигнал y[t) совпадает с переданным сигналом yd{t) с очень высокой точностью (ошибка yd{t) — y{t) показана на рис. 13.16 жирной линией). Однако как ошибки наблюдения, так и ошибки идентификации параметров не исчезают полностью за время постоянства s{t). Тем не менее, достоверное восстановление сигнала s{t) вполне возможно. Точность оценивания может быть повышена за счет увеличения коэффициента усиления в алгоритме адаптации 7і, что подтверждается результатами моделирования для 7і = 5.0 (рис. 13.18, 13.19). Разумеется, в реальных условиях, т.е. при учете помех в канале измерений, достижимая скорость передачи информации ограничена и зависит от наибольшей частоты спектра несущего сигнала.

Заключение Предложенная схема синхронизации, основанная на применении адаптивного наблюдателя показывает хорошие возможности по оценке параметров и состояний. Она позволяет достичь высокой скорости передачи информации. Эти результаты демонстрируют плодотворность применения современной теории нелинейного и адаптивного управления в новых прикладных задачах.