А. Приложение А. МЕТОД СКОРОСТНОГО ГРАДИЕНТА

Описание метода. Алгоритмы скоростного градиента

Рассмотрим описание объекта управления в виде

где x{t) G - вектор состояния объекта; Ѳ{і) G TZ™ - вектор управления (вектор входа); ^ , /(•) - непрерывная по х,Ѳ,і вектор-функция, непрерывно дифференцируемая по Ѳ.

Рассматриваются допустимые законы (алгоритмы) управления в виде

с некоторым оператором Ѳ таким, что решения системы (АЛ), (А.2) суш;ествуют и единственны при ^ > О для любых начальных значений ж(0), ^^(0).

Требуется, чтобы выполнялась некоторая цель управления, заданная, например, в виде асимптотического соотношения

или неравенства

где Qt = Q ({ж(в)‘=о}, {^(s)s=o}) ^ заданный целевой функционал (функционал качества),  < оо.

Рассматриваются два вида функционалов [106]

1. Локальный целевой функционал

2. Интегральный целевой функционал

В конкретных задачах цель управления может содержать некоторые дополнительные условия. Например, для интегрального целевого функционала используется и дополнительная цель управления в виде

Рассмотрим теперь основные формы алгоритмов скоростного градиента и условия их применения [9, 103, 106].

Пусть закон управления имеет вид

где Г = > О - mxm-матрица; ш[х, Ѳ, t) - производная целевого функционала в силу системы (А.1); гр{х,Ѳ,і) - некоторая вектор-функция, удовлетворяющая условию псевдоградиент- ности [78]:

Например, в качестве ф{х,Ѳ,і) можно брать

где Г,- = rf > О - mxm-матрицы (г = 1, 2) и Г2 - диагональная.

Алгоритмы вида (А.6) называются алгоритмами скоростного градиента (АСГ) в конечно-дифференциальной форме.

Имеются следующие условия применимости этих алгоритмов к решению задач управления с локальным целевым функционалом [106]. Пусть:

-    для всех V G TZ™ имеется единственное решение Ѳ = к(х, V, t)-, уравнения Ѳ + ф{х, Ѳ, t) = v,

-    функции/(ж, 0, t), VxQ{x,t), ф{х,Ѳ,і), V0Lo[x,6,t) локально ограничены равномерно но ^ > 0; ^

-    выполнено условие роста для \uityoQ{x,t) при ||ж|| —>■ оо;

-    функция ш[х, Ѳ, t) выпукла по Ѳ]

-    суш;ествуют вектор Ѳ^ЕТІ™ и функция p{Q) {p{Q) > О при <5 > 0) такие, что для всех x,t имеет место

Тогда все траектории системы с начальными условиями, принадлежаш;ими множеству По = {(ж,0):(І„-Г+Г)(0о-0*) = О} ограничены и Q[x{t)) —>■ О при ^ О, т.е. цель управления достигается для любого Д > 0.

Для доказательства этого утверждения используем функцию Ляпунова вида [9]

Вычисляя ее производную по времени в силу системы (А.1), (А.6), получим

где ш{х,Ѳ,і) определяется выражением (А.6), Vt = Ot{t) — + ф{х{і),Ѳ{і),і). Согласно условию, Vq G /^(Г), где £(Г)

- линейная оболочка столбцов матрицы Г+. По алгоритму (А.6),  G /^(Г). Следовательно, Vq G ДГ) для всех t >

О, так что    = Vt (Г+Г является проектором на мно

жество /^(Г)). Таким образом, (А.12) принимает вид Vt = uj{x[t),9[t),t) + VtVguj{x[t),e[t),t). Применяя теперь условия выпуклости и достижимости, получаем у < —p(Q(x(t),t)) < 0. Следовательно, V{x{t),6{t),t) < 1/(ж(0), 0(0), 0), что доказывает ограниченность траекторий системы (А.1), (А.6). Птак,

ОО

J p{Q{x{t),t))dt < оо, откуда стандартным образом с помо-

0

ш;ью леммы Барбалата (см. напр., [103, 64]) выводится, что Ип1(_;.оо <5(ж(^), ^) = О, что и требовалось доказать.

Для алгоритма (А.6) с интегральным целевым функционалом имеются следующие условия применимости (там же). Пусть:

-    для всех V G TZ™ имеется единственное решение Ѳ = к{х, V, t) уравнения Ѳ + Фіх, Ѳ, t) = v,

-    функции f{x,9,t), Ѵ^{х,Ѳ,і), к{х,Ѳ,і) локально ограничены;

-    функция q{x,9,t) равномерно непрерывна по х, t]

-    функция ш[х,Ѳ,і) выпукла по 0;

-    имеется вектор 0* G TZ™ такой, что

-    выполнено условие роста.

Тогда для любых ж(0), 0(0) в системе (А.1), (А.6) достигаются цели управления (А.4), (А.5) для А = <5о + 0.5 00 ~ ~'*/’(*0, 00, О

Для единственности решения уравнения 0 -Ь гр{х,Ѳ,і) = ѵ существенно выполнение для гр{х,Ѳ,і) условия Липшица по 0 с константой Липшица L < I.

Условие роста можно ослабить, заменив на условие того, что ограниченность Qt решений (А.1), (А.6) означает ограниченность x{t).

Требование дифференцируемости ш{х,Ѳ,і) и Qt можно исключить, если градиент заменить на субградиент. ^

Основными из указанных выше условий являются условия разрешимости (А.10), (А.13), которые показывают на принципиальную возможность решения поставленной задачи.

Частным случаем (А.6) являются АСГ в дифференциальной форме

Другой важный частный случай (А.6) - АСГ в конечной форме, который можно записать в виде

где 7 > О - параметр алгоритма (множитель шага).

Условия применимости алгоритма (А. 15) для функций ф{х,Ѳ,і), удовлетворяюш;их условию сильной псевдоградиент- ности: суш;ествуют р > 0,5 > 1 такие, что

имеют следуюш;ий вид [9, 64, 106]

Пусть имеется локальный целевой функционал,

-    уравнение (А. 15) разрешимо относительно Ѳ]

-    функция ш[х,Ѳ,і) выпукла по 0;

-    имеется вектор 0* = Ѳ^,{х,і), удовлетворяюш;ий условию (А.10) и условию

-    выполнено (А. 16).

Тогда в системе (А.6), (А.15) обеспечивается выполнение цели управления (А.4).

Для интегрального целевого функционала известно следу- юш;ее утверждение.

Пусть имеется интегральный целевой функционал,

-    уравнение (А.15) разрешимо относительно Ѳ,

-    функция ш{х,Ѳ,і) выпукла по Ѳ,

-    удовлетворяется условие (А. 16)

тогда в системе (А.6), (А.15) обеспечивается выполнение цели управления (А.5).

Пдентифицируюш;ие свойства алгоритмов скоростного

градиента

Вектор 0* G TZ™ в (А. 10) можно считать некоторым ’’идеальным” входным вектором, так как при Ѳ = Ѳ^, выполнены целевые условия. С прикладной точки зрения представляет интерес вопрос о сходимости Ѳ к Ѳ^,, т.е. вопрос о достижении в системе (А.1), (А.2) дополнительной цели управления

Этот вопрос возникает в первую очередь при решении задачи идентификации, когда 0* является вектором ’’истинных” значений параметров объекта. Обобш;ая, алгоритм (А.2) называем идентифицирующим алгоритмом, если в системе (А.1), (А.2) достигается цель управления (А.18) [103].

Как известно, [36, 59, 74, 103], идентифицируемость системы зависит и от вида входного процесса. При достаточном ’’разнообразии” внешнего воздействия цель (А. 18) может быть достигнута. Для точных формулировок используется следуюш;ее определение [9, 36, 103].

Определение . Матричная функция Ф{і) размера mxN, ограниченная для всех ^ > О, называется интегралъно-невы- рожденной, если суш;ествуют ^о>0, «о>0, L > О такие, что для всех t>to выполнено

Это условие показывает, что столбцы матрицы Ф{і) не стремятся все при ^ оо ни к какой гиперплоскости пространства

П^.

Для дифференциальной формы АСГ (А. 14) известно сле- дуюш;ее утверждение Пусть:

-    при і/’(ж, Ѳ,і) =0 выполнены указанные выше условия: для всех V ЕЛ™ имеется единственное решение Ѳ = к{х,ѵ,і) уравнения Ѳ + гр{х,Ѳ,і) = V, функции f{x,9,t), VxQ{x,t), гр{х,Ѳ,і), Vдш{х,Ѳ,і) локально ограничены; выполнено условие роста; функция ш[х,Ѳ,і) выпукла по 0; суш;ествуют вектор 0* G и функция p{Q) {p{Q) > О при Q > 0) такие, что для всех x,t имеет место ш{х,Ѳ^,,і) < p{Q), и, кроме того,

-    infj;Q{x,t) достигается в единственной точке x^,{t), где функция x^,{t) удовлетворяет уравнению (А.1) x{t) = f{x,6,t)-,

,    df{x,6,t) d^f{x,6,t) d^f{x,6,t)   j-\

-функции  ^    ^    nenpe-

рывны;

-    функция Ф{і) = - интегрально-невырожденная.

Тогда АСГ в дифференциальной форме (А. 14) является

идентифицируюш;им алгоритмом для всех ж(^о), 0(^о) и решение со1{ж*(^), 0*} системы (А.1), (А.14) асимптотически устойчиво в целом равномерно по ограниченному множеству начальных условий ж(^о), Ѳ[іо) и моменту времени tg [103].

Практически указанные условия сводятся к требованию, чтобы входной (”возбуждаюш;ий”) сигнал содержал не менее п гармоник с различными частотами. Это требование называют также условием ”неисчезающего возбуждения” или ”постоянного возбуждения”, подробнее см. [64, 106].