1.6.4- Примеры расчета частотных характеристик

Рассмотрим некоторые примеры вычисления частотных характеристик.

Пример 1. Колебательный контур. Как показано в п. 1.5.3. с. 38, передаточная функция колебательного контура (1.13) имеет вид

где

Выполнив подстановку s = ш ETZ, получим амплитудночастотную характеристику

Согласно (1.41), с. 48, фазо-частотная характеристика при о; > О описывается выражением

Как видно из АЧХ, данная система является фильтром верхних частот (ВЧ-фильтром). Граница полосы пропускания определяется условием Л(о;)^ > 0.5. Пусть, например, R= 800 [Ом], Г= 4 [Гн], С= 10-® [Ф]. Тогда Т = 6.32 • 10-^ [с],

^ = 0.63, полоса пропускания начинается с частоты Шс = 200 [1/с]. График АЧХ приведен на рис. 1.9

Текст программы па языке MATLAB для расчета АЧХ колебательного контура

L=4.0; R=800; С=10е-6;

-    задание значений параметров;

T=sqrt(L*C), xi=R/2*sqrt(C/L), K=L*C

-    вычисление Т,^,К

ommax=600; omega=0:ommax/100:ommax;

-    задание значений частоты ш]

s=j*omega; % - определение аргумента s =

W=K*sr2 ./(Т^2*8Г2+ 2*хі* T*s+ 1);

- подстановка s в W(s);

A=abs( W);

-    вычисление АЧХ;

plot(omega, А, ’w’), grid

-    вывод АЧХ на график. Параметр V’ задает цвет линии на графике (см. [72, 81, 139])

Пример 2. Летательный аппарат. Получим теперь диаграмму Боде (логарифмические частотные характеристики) рассмотренного выше в примере 2 на с. 28 летательного аппарата (1.16). Линеаризованная модель продольного углового движения ЛА принята в виде (1.33), а соответствую- ш;ие передаточные функции имеют вид (1.36). Рассмотрим

легкий ЛА со следующими значениями параметров на некотором режиме полета [4]: а" = —2.10 [с“^], = 0.16[с“^], = 29.4 [с“^], = 2.18 [с“^],    = 60.7 [с“^]. Выполняя

вычисления, получим следующую передаточную функцию по углу тангажа:

где коэффициент передачи к,) = 3.75 [с“^], постоянные времени г = 0.48 [с], Т = 0.17 [с], коэффициент демпфирования ^ = 0.37 . Диаграмма Боде (ЛАХ) летательного аппарата по углу тангажа представлена на рис. 1.10

Текст программы на языке MATLAB для расчета частотных характеристик летательного аппарата

a_alpha_y= -2.10; a_delta_y= 0.16; a_alpha_m= 29.4; a_omega_m = 2.18; a_delta_m= 60.7;

- задание значений параметров а", а^, а" ^уравнений (1.33);

num=- a_delta_m*[l, - a_alpha_y] den=[l, a_omega_m, -a_alpha_y, ...

a_alpha_m, -a_alpha_y*a_omega_m, 0]

-    формирование массивов коэффициентов числителя и знаменателя передаточной функции ЛА W^“(s) из (1.34);

k=-nl(2)/dl(3), tau=nl(l)/nl(2)

T=sqrt(l/dl(3)), ksi=dl(2)/dl(3)/2/T

-    вычисление параметров к^, т, T,l; передаточной функции

om=logspace(-l, 2);

-    задание значений частоты о;;

[mag, phase]=bode(num, den, от);

-    вычисление частотных характеристик с помощью процедуры bode (см. Приложение)

lmag=20*logl0(mag);

-    перевод значений АЧХ в децибелы;

semilogx(om, Imag, ’w’, 1/tau, О, ’+w’, 1/Т, О, ’+w’), grid

-    вывод диаграммы Боде (ЛАХ) на график. Символы ’-Ь’ выводятся на оси и> для указания сопрягающих частот [15, 76].

Для численного нахождения передаточных функций и частотных характеристик непосредственно по уравнениям состояния системы можно использовать MATLAB-программу:

A=[a_alpha_y, О , -a_alpha_y;...

a_alpha_m, -a_omega_m, -a_alpha_m;...

О 1 О ];

B = [a_delta_y; -a_delta_m; 0]; C = [0 0 1]; D=0;

-    формирование матриц уравнений состояния ЛА (1.33)

[п, d]=ss2tf(A, В, С, D, 1);

-    вычисление массивов коэффициентов матричной передаточной функции ЛА;

[mag, phase]=bode(A, В, С, D, 1, от);

-    вычисление частотных характеристик.

Заметим, что результаты вычислений будут несколько отличаться из-за влияния параметра характеризующего подъемную силу рулей высоты. Этот параметр не учитывается в (1.34) для компактности выражений, но включен в матрицу В в программе.

Пример 3. Амортизированная транспортная система Найдем частотные характеристики транспортной системы (1.19), с. 32. Но передаточным функциям Wi(s), W2(s), полученным в п. 1.5.3. (пример 4, с. 38), получаем следующие выражения для АЧХ:

В качестве примера на рис. 1.11 показаны АЧХ, рассчитанные при следующих значениях параметров [126]: Ші = 500 [кг], Ш2 = 400 [кг], кі = 60[кН/м], Аг2 = 170[кН/м].

Текст MATLAB-программы для расчета частотных характеристик транспортной системы

к_1= бОеЗ ; к_2= ІТОеЗ ;

m_l= 500 ; m_2= 400 ;

- ввод параметров системы;

ommax= 50 ; omega=0:ommax/500:ommax;

-    задание значений частоты ш] A_l=k_l*k_2./abs(m_l*m_2*omega. 4-...

(k_l*m_l+ k_l*m_2+k_2*m_l).*omegar2+ к_1*к_2 ); A_2=m_l*omegar2 .*abs(k_l- m_2.*omegar2)./... abs(m_l*m_2*omega. 4-...

(k_l*m_l+ k_l*m_2+k_2*m_l).*omegar2+ k_l*k_2);

-    вычисление АЧХ Ai{u>), ^2(0;); subplot(211), plot(omega, A_l, ’w’), grid axis([0 ommax 0 10])

subplot(212), plot(omega, A_2, ’w’), grid axis([0 ommax 0 10])

-    вывод графиков АЧХ. Параметр axis задает диапазоны координатных осей.

В данной программе вычисления выполнены по приведенным выше аналитическим выражениям. Аналогично примеру 2, можно не выполнять аналитических выкладок, а получать АЧХ численно по матрицам уравнений состояния системы с помош;ью процедуры bode.

Пример 4. Цифровой фильтр. В п. 1.5.3. с. 45, получена передаточная функция нерекурсивного цифрового фильтра (1.22), имеюш;ая вид (1.38)Для нахождения частотных характеристик фильтра выполним подстановку 2 = ПолучимВ рассматриваемом случае ввиду симметрии выражения для W(^) при расчете частотных характеристик удобно выполнить преобразования W(e-^‘^) = + + + =

0.25 • 6-2 5^*^ (е-15^*5 g-o^5j^  ^ 0.5 •   (cos 1.5w -Ь

cos0.5o)) =   coso) cos 0.5о). Отсюда АЧХ фильтра А{ш) =

|W(e-^‘^| = I cos(o)) cos(0.5o))|. График А{ш) представлен на рис. 1.12.

Текст МАТГАВ-программы для расчета частотных характеристик цифрового фильтра

omega=0:0.005:2*pi; z=exp(i*omega);

-    определение значений аргумента 2 = передаточной функции для вычисления частотных характеристик дискретной системы;

W= (1+ Z+ Z. 2+ Z. 3)./z. 4/4;

-    вычисление W(e-^‘^);

A=abs(W);

plot(omega, A, ’w’), grid, axis([0, 2*pi, 0, 1])

-    вычисление АЧХ и вывод графика.

Замечание. В рассмотренных выше примерах частотные характеристики определялись после представления передаточных функций по соответствуюш;им входам и выходам в виде отношения многочленов. В вычислительном отношении оказывается предпочтительным пользоваться непосредственно подстановкой X = jcu (либо X = - для дискретных систем) в выражение для резольвенты R(A) = (ЛІ„ — А) Затем используются соотношения R(7 + ]/>) = ((7 +   -

.4)“' = (7І„ - А-  - .4)’ +  = и + ,,Ѵ, гд.

7 = ReA,(5 = ІтЛ (при X = jcu подставляются значения 7 = 0, S = си, а при Л = значения j = cos о;, S = sin о;). В результате численно находятся матричные значения веш;ественной и мнимой частотных характеристик U, V. Умножая их на матрицы С, В, получаем веш;ественную и мнимую частотные характеристики по заданному входу и выходу. Такой способ позволяет избежать вычисления передаточных функций от параметра Л и, кроме того, использовать эффективные вычислительные алгоритмы матричной алгебры.