1.8. Преобразование базиса

Как отмечено в п. 1.1. с. 15, вектор состояния может быть представлен неединственным образом - произвольное взаимнооднозначное отображение пространства состояний X в себя дает новый вектор, который также можно использовать в качестве состояния системы. Этот вектор имеет другие значения компонент. Особенно распространено линейное невырожденное преобразование с квадратной пхп-матрицей Т, detT / 0. При таком преобразовании говорят, что вектор состояния представлен в новом базисе, а соответствуюш;ее преобразование уравнений называют преобразованием базиса уравнений состояния. Вид уравнений системы при этом изменяется, но остаются неизменными входо-выходные соотношения. В частности, для стационарных линейных систем остается неизменной передаточная функция. Рассмотрим преобразование базиса более подробно.

Пусть Т - невырожденная матрица порядка п, det Т / О, x{t) G - вектор состояния системы. Определим вектор x[t) = Tx{t). В силу невырожденности матрицы преобразования Т, вектор x{t) определяется по x{t) взаимно-однозначно и

можно записать x{t) = T~^x[t). Перепишем уравнения состояния (1.2) в преобразованном виде. Учитывая что x[t) = T~^x[t), получим

Обозначим матрицы A{t) = TA{t)T~^, B{t) = TB{t), C{t) = C{t)T~^. Отсюда получаем уравнения (1.43) в форме (1.2):

Уравнения (1.44) представляют собой уравнения состояния системы (1.2) в новом базисе. Очевидно, что различных форм уравнений состояния может быть записано неограниченно много.

Рассмотрим теперь стационарные реализуемые системы, заданные уравнениями

В результате преобразования с матрицей Т получим

где матрицы А, В ,С определены выше. Вычислим передаточную функцию системы (1.46) по формуле (1.25) и выполним преобразования:

Таким образом, передаточная функция системы после преобразования подобия с матрицей Т не изменилась. Говорят,

что передаточная функция инвариантна по отношению к преобразованию базиса уравнений состояния. Заметим, что изменение базиса уравнений состояния соответствует структурным преобразованиям систем, заданных передаточными функциями.

Матрицы А и А = ТАТ~^ называются подобными. У них много обш;их свойств. В частности, их характеристические многочлены совпадают: det(sl„ — А) = det(sl„ — А), следовательно, совпадают и собственные числа. Обратное, во-

обш;е говоря, не верно. Например, матрицыи

имеют одинаковые собственные числа Si 2 = О,

но не являются подобными.

Аналогично тому как по координатам вектора состояния в новом базисе можно однозначно получить его координаты в исходном базисе, можно по матрице А восстановить матрицу

Л = Т-ЫТ.

Следует иметь в виду, что хотя преобразование подобия не изменяет передаточной функции, обратное, вообш;е говоря, не верно. Можно привести примеры, когда одной и той же передаточной функции отвечают уравнения состояния, которые не преобразуются друг в друга ни при какой невырожденной матрице Т. Это явление связано с возможной вырожденно- стью системы и обсуждается ниже, в главе 7. с.166.

Пример. Преобразование уравнений ИСЗ. Пусть исходные уравнения системы (1.15) (п. 1.4.2. с. 28) заданы в виде (1.3) и матрицы

Зададим матрицуВыполним с этой

матрицей преобразование базиса рассматриваемой системы. Получим

В ’’развернутом” виде (относительно отдельных компонент вектора состояния) в результате преобразования получаем

уравнения

Как видно, уравнения состояния (1.47) отличаются от исходных (1.15), однако нри соответствующих начальных условиях данные системы будут иметь одинаковые реакции на входное воздействие - их передаточные функции совпадают. Заметим также, что не всегда компонентам вектора состояния удается приписать определенный физический смысл. Если компоненты вектора x{t) в исходном базисе сопоставлялись с фазовыми координатами - углом и угловой скоростью, то после преобразования трудно дать физическую интерпретацию полученным переменным состояния. Структурные схемы, соответствующие исходным (1.15) и преобразованным (1.47) уравнениям состояния, приведены на рис. 1.14

Рассмотренный пример показывает, что значения переменных состояния могут соответствовать значениям некоторых физических переменных, но могут и представлять собой некоторые абстрактные величины. В этой связи возникает вопрос о размерностях переменных, входящих в уравнения состояния. По-видимому, более удобно считать эти величины безразмерными (вещественными) числами. При составлении математической модели системы и определении ее параметров, а также начальных условий, физическая размерность учитывается. Далее модель подвергается исследованиям (которые могут включать и операции преобразования базиса), имеющим абстрактный характер. Для интерпретации полученных результатов в терминах исходной задачи выполняется обратное преобразование.

1. Имеются четыре часовых устройства, показывающих время Хі [і = 1,2,3,4), которые работают следующим образом [174].

Настенные часы опаздывают каждый час на четыре минуты. Настольные часы опережают настенные часы на две минуты в час. Будильник отстает от настольных часов на две минуты в час. Наконец, наручные часы опережают будильник на две минуты в час.

а)   Записать уравнения состояния, соответствующие приведенным утверждениям, в пространстве ж G Л’ = 7^^ в виде

с некоторыми матрицами E,R и вектором г, полагая время дискретным с интервалом квантования в один час.

б)   Привести уравнения состояния к стандартному виду

Указание. Учесть, что

для любой матрицы В такой, что ряд в правой части сходится.

в)   Пусть в полночь (в момент А; = 0) все часы установлены правильно. Написать общую формулу для х[к]. Что покажут наручные часы в 7.00 утра (т.е. при к = 7)?

2. Решить предыдущую задачу при следующем описании хода часов.

Настенные часы опаздывают каждый час на две минуты. Настольные часы опережают настенные часы на две минуты в каждый час, который регистрируют настенные часы. Будильник отстает от настольных часов на две минуты в каждый час, регистрируемый настольными часами. Наручные часы опережают будильник на две минуты в час, регистрируемый будильником.

Имеется нелинейная система

а)   Пусть Жі(1) = 1, ^2(1) = —1 и входное воздействие u{t) = 0. Пайти ж(^). (У к а 3 а н и е . Рассмотреть степени t).

б)   Используя процедуру линеаризации (см. п. 1.З.), найти уравнения нестационарной линейной модели, описывающей поведение рассматриваемой системы при малых отклонениях от полученного решения.

в)   Найти приближенное решение исходного уравнения при жі(1) = 1.5,Ж2(1) = 0.5, u{t) = 0.5.

4. Исходные уравнения системы могут не иметь стандартного вида. Более общей формой (1.5) является обобщенное уравнение состояния [174]

с пхп-матрицами А, Е ш пхт-матрицей В, которое называется также уравнением в дескрипторной форме. Если det і? = О, данная система содержит статические и динамические соотношения, в некотором смысле статические уравнения ’’встроены” в динамическую модель. При достаточно общих условиях данная система может быть приведена к уравнениям, порядок которых меньше порядка исходной системы. Рассмотрим следующую задачу.

Пусть система описывается уравнениями

где х[к] G7^", Т,С - тхп-матрицы, D - матрица размера [п — т)хп, и[к]еП”^, ѵЩеТГ-”^.

г т'

Предполагая невырожденность пхп-матрицы ^ , выполнить следующие преобразования для приведения системы к стандартному виду (1.5):

а)   Ввести вектор ж = Тж и, используя данное определение и нижний блок уравнений системы, записать ж [А;] как

Привести явное выражение для G ш Е[.

б)   Показать, что верхний блок исходной системы может быть записан уравнениями состояния вида

Получить выражения для R н В. (Заметим, что х[к\ можно восстановить но х[к\, используя пункт а)

5.   Самуэльсоном [174, 188] предложена следующая модель национальной экономики. Национальный доход У[к] равен сумме потребления С[к], инвестиций І[к] и правительственных расходов G[k], Потребление пропорционально национальному доходу за предыдущий год, а инвестиции пропорциональны росту расходов на потребление между данным годом

и предыдущим. Эти предположения приводят к уравнениям

или к уравнениям в матричной форме (1.48) с матрицами

и вектором состояния х = со1{/, C,Y}.

Используя результат упражнения 4, привести данные уравнения к стандартным разностным уравнениям вида (1.5) второго порядка.

6.   Уравнения углового движения искусственного спутника Земли при действии управляющего момента относительно главных осей инерции задаются уравнениями Эйлера ([19, 23, 94], см. также с. 28) и имеют вид

где  (г = x,y,z) - соответственно составляющие мо

мента инерции, управляющего момента и угловой скорости относительно осей связанной системы координат [x,y,z).

Полагая Jy = = J, получить опорную траекторию движения ИСЗ при Mi[t) =0 {і = X, у, z).

Выполнить линеаризацию уравнений движения спутника относительно данной траектории.