2.1.1.       Простые вещественные собственные числа

Пусть Si - простые, т.е. s,- / Sj при і ф j, i,j = l,2,...,n и, кроме того, они веш;ественные: Ims,- = 0. В этом случае ^ любую матрицу пхп можно привести с помош;ью некоторого невырожденного преобразования к диагональной матрице А = diagjsi, S2, ■ ■ ■ , Sn} [53, 115] или, более подробно, к матрице вида

Как нетрудно убедиться, множество {s,} действительно образует спектр матрицы (2.1). Для этого найдем характеристи-

ческую матрицу sl„ — А, которая тоже оказывается диагональной, sl„ — А = diag{s— Si}. Характеристический многочлен есть определитель данной матрицы, а для диагональной матрицы он равен произведению элементов главной диагонали [53]. Следовательно, получаем A(s) = ПГ=і   откуда непосредственно следует высказанное утверждение.

Такой базис удобен тем, что в нем уравнения системы распадаются на уравнения п независимых подсистем первого порядка. Предполагая для простоты записи, что u{t) £TZ (m = 1), приведем соответствующие уравнения состояния ”в развернутом виде”, т.е. в виде системы уравнений первого порядка относительно компонентов вектора х. Получим

Видно, что здесь Xi{t) не зависят от Xj[t) (при і ф ])■ Следовательно, происходит декомпозиция системы - система высокого (п-го) порядка распадается на п независимых подсистем меньшего (первого) порядка. Вследствие этого упрощается расчет процессов в системе.

Посмотрим, какая структура системы соответствует такой форме матрицы А с точки зрения передаточных функций. Пусть / = m = 1 - система имеет один вход и один выход,

т

В = bi,b2,...,bn , с = Сі, С2,... , с„ . Пз (2.2) сразу получаем, что передаточные функции к ж,- определяются выражениями Wi{s) =        —, і =     . Учитывая уравнение

выхода y{t) = Cx[t) =   CiXi{t), получим, что передаточная

функция всей системы имеет вид

Таким образом, диагональная форма матрицы А соответствует системе, состоящей из параллельно соединенных подсистем первого порядка (апериодических или интегрирующих звеньев).

Более сложным случаем является наличие у матрицы А невещественных корней. ^ Как и выше, нри простых собственных числах, матрица А также может быть приведена невырожденным преобразованием к диагональному виду (2.1), однако такая матрица будет содержать на диагонали мнимые элементы. Это неудобно для дальнейшего ее использования. Для устранения указанной трудности используется квазидиа- гональная (блочно-диагональная) форма [53, 115]. При таком представлении мнимым корням = а*- ± характеристи

ческого многочлена соответствуют блоки (клетки) вида

Характеристический многочлен данной матрицы A,(s) = (s — a,)^-b/3? = —2a,s-ba?-b/3?. Корни этого многочлена = ai± jfSi совпадают с заданными. Окончательно матрица А имеет следующую блочную структуру (определенную с точностью до порядка следования блоков):

Вещественным корням «і,... ,Sg характеристического многочлена соответствуют блоки размера 1x1, мнимым корням Sg^2i-i,q+2i = с^і ^ ]f^i, * = Ij 2, Г соответствуют блоки

размера 2x2 вида (2.3).

Вычисляя характеристический многочлен матрицы (2.4), аналогично н. 2.1.1. с. 67, получим

Таким образом, матрица А имеет заданные собственные числа S,'. Если снова записать уравнения состояния для каждой компоненты вектора х, то убеждаемся, что система ’’распадается” на g -Ь г независимых подсистем первого и второго порядков. При т = I = 1 передаточная функция системы принимает вид

Следовательно, такой форме уравнений состояния соответствует разложение передаточной функции системы на слагаемые первого и второго порядков, что иллюстрируется рис. 2.1. 3

Рассмотренные выше канонические формы матрицы А (2.1) и (2.4) представляют собой частные случаи так называемой вещественной формы Жордана. Такая форма может быть получена, если характеристический многочлен матрицы А не имеет кратных корней. Пиже приведен обш;ий вид веш;ествен- ной жордановой формы при наличии у матрицы А кратных собственных чисел (см. сноску 1 на с. 67).