2.1.3. Общий случай. Вещественная форма Жордана

Пусть матрица А порядка п имеет кратные собственные числа: Si - кратности /і, S2 - кратности /2, . . . ,Sp - кратности Ір. Выполнено условие h = п. При наличии кратных кор

ней не всякая матрица может быть невырожденным преобразованием приведена к диагональной или блочно-диагональной форме (2.1), (2.4). Однако известен более общий блочнодиагональный канонический вид матрицы А, который может быть получен и для кратных собственных чисел при любой исходной матрице [53, 66, 115]. В этой форме матрица А имеет следующую блочную структуру: ^

где Зі, г = 1, 2, . . . , г - клетки (.ящики) Жордана, имеющие вид:

-    для вещественных собственных чисел (Imsj = 0)

-    для мнимых собственных чисел Sj = aj ± ](3j

Блочно-диагональная форма матрицы А вида (2.6) называется вещественной (обобщенной) жордановой матрицей. Из теории матриц (см. [53, 115]) известна следующая теорема.

Теорема. Всякая квадратная матрица над нолем вещественных чисел подобна некоторой обобщенной жордановой матрице, которая определяется однозначно с точностью до порядка расположения клеток на главной диагонали. □

Размер каждой клетки J,- вида (2.7) может быть от 1x1 до /jx/j, а размеры клеток J,' вида (2.8) - от 2x2 до 2/jx2/j, (где j - кратность корня Sj). Следовательно, в случае простых корней клетки, отвечающие вещественным собственным числам имеют порядок один: J,- = Si, а клетки, отвечающие мнимым

собственным числам - порядок два: J,- =    А Таким

_ Рі _

образом, приведенная в п. 2.1.2. с. 69, форма (2.4) следует из (2.6) как частный случай.

Существенно, что размер клеток Жордана в общем случае не совпадает с кратностью корня. Одному и тому же значению s,- может отвечать несколько клеток разного размера. Например, выше, в п. 1.8. с. 60, были рассмотрены 4 [О 4 [О о1

матрицы Аі = 0 0 ИУІ2= 0 0’ которые имеют одинаковые наборы собственных чисел Si 2 = 0. Обе матрицы

записаны в канонической жордановой форме, но матрица Аі совпадает с клеткой 2x2, а матрица А2 содержит две клетки Ji = J2 = О размера 1x1. Как отмечено выше, данные матрицы не могут быть преобразованы одна к другой никаким невырожденным преобразованием, т.е. они не являются подобными. В этом проявляется обш;ее свойство матриц, согласно которому каноническая форма Жордана определяется единственным образом с точностью до порядка следования клеток [53, 115].

Вычисление передаточной функции системы с одним входом и одним выходом, представленной уравнениями с матрицей (2.6), дает следуюш;ий результат. Передаточная функция W(s), как и для случая простых собственных чисел, имеет вид (2.5), где соответствуюш;ие слагаемые равны

в которых многочлены В,- (s), Dj (s) имеют степени /, — 1 и 2/j — 1 соответственно.

Алгоритм определения размеров клеток Жордана для матриц с кратными собственными числами связан с выполнением следуюш;их действий [53, 115]:

-    составление характеристической матрицы sl„ — А и приведение ее к каноническому виду;

-    вычисление элементарных делителей матрицы sl„ — А;

-    построение клеток Жордана по каждому элементарному делителю.

Этот процесс достаточно трудоемок и здесь не рассматривается. Более подробные сведения о жордановой форме содержатся в [53, 66, 115].

Рассмотрим другую каноническую форму - управляемое каноническое представление [УКП) [3], которая иногда называется также канонической формой ”с общим выходом”, канонической формой фазовой переменной [47, 102] либо управляемой формой Луенбергера [1, 174]. ®

Запишем матрицу А в виде

где Яі, Я2, а„ - некоторые коэффициенты. ® Вычислим ее характеристический многочлен. Как нетрудно убедиться, A(s) = s" -Ь ais"~^ + a2-s"~^ -j h a„_is + a„. Таким образом, коэффициенты характеристического многочлена располагаются в последней строке матрицы А. Матрицы такого вида называются сопровождающими для своего характеристического многочлена, или матрицами Фробениуса. ^ Данные матрицы обладают рядом интересных свойств (см. [53, 115] и п. 3.2.1. с. 84). В частности, коэффициенты характеристического многочлена таких матриц определяются без вычислений.

Матрица В для данной канонической формы также имеет специальный вид. Остановимся на частном случае систем со скалярным входным воздействием u{t)£TZ, т.е. m = 1. ®

Для таких систем матрица В имеет размер пхі и может рассматриваться как вектор-столбец. В данной канонической форме выполнено равенство

Следовательно, уравнения состояния системы в данной канонической форме имеют вид

где через обозначены элементы /хп-матрицы С, вид которой не оговаривается. Видно, что неременные состояния системы (2.12) связаны друг с другом как последовательные производные. ® Такая форма уравнений обычно используется в математике при приведении дифференциального уравнения п-го порядка к системе уравнений первого порядка, т.е. к так называемой нормальной форме Коши [66]. Структурная схема системы с одним выходом, уравнения которой имеют вид (2.12), показана на рис. 2.2.

Получим передаточную функцию системы (2.12), считая для простоты записи, что 1=1, С = Сі, С2, . . . , с„ . Пепосред-

ственное вычисление но формуле (1.25) приводит к выражению

Таким образом, в данной канонической форме как коэффициенты знаменателя A(s), так и коэффициенты числителя B(s) передаточной функции находятся без вычислений. Они получаются непосредственно из элементов последней строки матрицы А и соответствующей г-му выходу строки матрицы С.

Аналогичные формы уравнений состояния могут быть записаны и для систем с несколькими входами, см. [3, 1, 174].

Надо отметить, что не всякую систему можно привести преобразованием подобия к виду (2.10), (2.11). Условия осуществимости такого перехода обсуждаются ниже, в п.п. 3.2.

7.2.