2.4. Задачи и упражнения

1. Вычислить характеристические многочлены, собственные значения и собственные векторы матриц

Матрицу

привести к капопической форме Жордапа.

3.   Доказать, что любая квадратная матрица А подобна своей транспонированной А [3].

4.   Доказать, что для любой вещественной пхп-матрицы А существует невырожденная матрица Т такая, что матрица Л = ТАТ~^ имеет треугольную форму. На главной диагонали этой матрицы расположены ее собственные значения si,s2,...s„, а элементы, находящиеся под главной диагональю, равны нулю [3].

5.   Показать, что для любой квадратной матрицы А и любого е > О всегда имеется возмущение элементов матрицы А на величину, меньшую, чем е, такое, что результирующая матрица подобна диагональной (2.1) [174].

6.   Пусть население страны делится на две части: сельское и городское. Естественный прирост населения, вызванный рождением, предполагаем одинаковым для обоих секторов с параметром а (так что численность населения в год к + I в а раз отличается от численности в год к). Численность населения в секторах подвержена изменениям из-за миграции между ними. Пусть оптимальное количество сельского населения составляет часть у от всего населения страны. Годовой уровень миграции сельского населения в города пропорционален избытку его численности по отношению к оптимальной. Скорость миграции определяется множителем /3 > 0. (Предполагаем /3 < а.) Множитель О < 7 < 1 зависит от уровня сельскохозяйственного производства. Указанные параметры обычно изменяются во времени, здесь считаем их постоянными [174].

Обозначим численность сельских и городских жителей в год с номером к через г[к] и и[к] соответственно. На основе указанных предположений получаем следующую модель процесса миграции:

а.   Записать уравпепия (2.16) в матричной форме (1.5) относительно вектора состояния х = со1{г, и}.

б.   Найти собственные значения и собственные векторы матрицы А системы (2.16).

в.   Показать, что условие

является необходимым и достаточным для того, чтобы как городское, так и сельское население имело неотрицательную численность при произвольных неотрицательных начальных значениях. Показать, что это эквивалентно условию О < /3 < 2а.

7. Модифицируем модель упр. 6, введя население пригородов численностью s[A;], которая подчинена уравнению s[k + 1] = as[k] + Su[k], Считаем, что значение Su[k] получается за счет городского населения [174].

Записать уравнения трехсекторной модели населения, найти для этой модели собственные значения и собственные векторы, дать интерпретацию полученным результатам.