3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ СОСТОЯНИЯ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ

Обратимся теперь к задаче перехода от исходных уравнений состояния к уравнениям в заданной канонической форме. Решение этой задачи сводится к определению невырожденной пхп-матрицы Т такой, что для заданных матриц А, В ,С получаются уравнения с матрицами А = ТАТ~^, В = ТВ, С = СТ~^, имеюш;ими требуемый канонический вид. ^

Заметим, что столбцы матрицы Т~^ содержат координаты новых базисных векторов относительно старого базиса [3, 53, 66, 115]. Это означает, что если в пространстве заданы две системы базисных векторов ^ {е} = {еі, 02, ... , е„} n{f} = {fi, f2,    fj, ТО каждый вектор f,- базиса {f} мож

но разложить по базису {е}, т.е. представить в виде суммы fi = '^’j-iPji^j, i = 1,2,... , п, или, в матричных обозначениях, [fi, f2, ..., f„] = [ei, 02, ..., ejP, [ei, 02, ..., e„] = [fi, f2, ..., f„]P-i иГ = Р-і.

Рассмотрим теперь вопрос о вычислении матрицы преобразования Т по заданным матрицам данной системы, записанным в разных базисах.

Если заданы пхп-матрицы А и А, то из условия А = ТАТ~^ матрица преобразования Т должна удовлетворять матричному уравнению

Уравнение (3.1) приводится к однородной системе п"^ линейных уравнений. Сведения о суш;ествовании ее решений содержатся, например, в [53]. Как отмечено выше, не всякие матрицы с одинаковым спектром являются подобными. Поэтому не каждая матрица может быть приведена к заданной канонической форме. Возможность такого преобразования к соответствуюш;им каноническим формам обсуждается ниже.